8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

КГУ Лицей №2 из 8 в 9 класс 2014 год (вариант 2)

Сложность:
Дата экзамена: 2024
Сложность:
Дата экзамена: 2024
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №2 Г. КАРАГАНДЫ


2014 год


Вариант 2



  1. Вычислите:
    1. $\sqrt{(3-\sqrt{7})^{2}}-\sqrt{(2-\sqrt{7})^{2}}$
    2. $0,7 \sqrt{5 \frac{11}{49}}-\frac{1}{3} \sqrt{4,41}+\frac{1}{5} \sqrt{0,000625}$
  2. Упростите выражения:
    1. $\left(\frac{x \sqrt{x}+y \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{x y}\right) \cdot \frac{1}{x-\sqrt{x y}}$
    2. $\left(\sqrt{m n}-\frac{m n}{m+\sqrt{m n}}\right): \frac{m \sqrt{m n}-m n}{m-n}$
  3. Решите уравнения:
    1. $\frac{x-2}{x^{2}-x}+\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{2}{x^{2}-1}$
    2. $(x-1)^{4}-x^{2}+2 x-73=0$
    3. $\frac{|2 x-1|+x+1}{4 x-2}=1$
  4. Найдите область допустимых значений выражения: $$ \sqrt{2 x-5}+\frac{5+x}{\sqrt{11-3(x-1)}} $$
  5. Решите неравенства:
    1. $\frac{(3-x)(x+1)(x+3)^{3}}{(x-2)^{2}} \geq 0$
    2. $3 x^{2}+10 x+3>0$
  6. Решите задачу: Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и 35 км по озеру, причем на путь по реке она затратина на 3 минуты меньше, чем на путь по озеру. Найдите собственную скорость моторной лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.
  7. Составьте квадратное уравнение с корнями $\frac{3}{2}$ и $\frac{1}{4}$
  8. Постройте график функции $y=x^{2}-6|x|+5$
  9. Если двузначное число разделить на сумму его цифр. то в частном получится 3 и в остатке 7. Если к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это число.
  10. В прямоугольном треугольннке один из катетов равен 16. Разность между гипотенузой и другим катетом равна 2, Найдите второй катет и гипотенузу.
  11. Один из углов прямоугольной трапеции равен 45". Найдите площадь трапеции, если большая боковая сторона равна $4 \sqrt{2}$ см. а большее основание $10 \mathrm{CM}$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Вычислите: $\sqrt{(3-\sqrt{7})^{2}}-\sqrt{(2-\sqrt{7})^{2}}$
      Решение:
      $\sqrt{(3-\sqrt{7})^{2}} = |3-\sqrt{7}| = 3-\sqrt{7}$ (т.к. $3 > \sqrt{7} \approx 2.645$)
      $\sqrt{(2-\sqrt{7})^{2}} = |2-\sqrt{7}| = \sqrt{7}-2$ (т.к. $2 < \sqrt{7}$)
      $3-\sqrt{7} - (\sqrt{7}-2) = 5 - 2\sqrt{7} \approx -0.291$
      Примечание: В ответах указано 0,905, что соответствует пункту б. Возможна опечатка в условии или ответах.
      Ответ: $5 - 2\sqrt{7}$.

    2. Вычислите: $0,7 \sqrt{5 \frac{11}{49}}-\frac{1}{3} \sqrt{4,41}+\frac{1}{5} \sqrt{0,000625}$
      Решение:
      $\sqrt{5\frac{11}{49}} = \sqrt{\frac{256}{49}} = \frac{16}{7}$
      $0,7 \cdot \frac{16}{7} = 1,6$
      $\sqrt{4,41} = 2,1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3} \cdot 2,1 = 0,7$
      $\sqrt{0,000625} = 0,025 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{5} \cdot 0,025 = 0,005$
      $1,6 - 0,7 + 0,005 = 0,905$
      Ответ: 0,905.


    1. Упростите: $\left(\frac{x \sqrt{x}+y \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{x y}\right) \cdot \frac{1}{x-\sqrt{x y}}$
      Решение:
      $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = x - \sqrt{xy} + y$ (по формуле суммы кубов)
      $(x - \sqrt{xy} + y - \sqrt{xy}) \cdot \frac{1}{x - \sqrt{xy}} = \frac{(x + y - 2\sqrt{xy})}{x - \sqrt{xy}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}} = 1 - \sqrt{\frac{y}{x}}$
      Ответ: $1 - \sqrt{\frac{y}{x}}$.

    2. Упростите: $\left(\sqrt{m n}-\frac{m n}{m+\sqrt{m n}}\right): \frac{m \sqrt{m n}-m n}{m-n}$
      Решение:
      $\sqrt{mn} - \frac{mn}{m + \sqrt{mn}} = \frac{m\sqrt{mn}}{m + \sqrt{mn}}$
      $\frac{m\sqrt{mn}}{m + \sqrt{mn}} : \frac{m(\sqrt{mn} - n)}{m - n} = \frac{m\sqrt{mn}(m - n)}{(m + \sqrt{mn})m(\sqrt{mn} - n)} = 1$
      Ответ: 1.


    1. Решите уравнение: $\frac{x-2}{x^{2}-x}+\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{2}{x^{2}-1}$
      Решение:
      Общий знаменатель: $x(x-1)(x+1)$
      $(x-2)(x+1) + (x-1) = 2x$
      $x^2 - x - 2 + x - 1 = 2x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 3 = 2x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - 3 = 0$
      Корни: $x = 3$ (подходит), $x = -1$ (не входит в ОДЗ)
      Ответ: 3.

    2. Решите уравнение: $(x-1)^{4}-x^{2}+2x-73=0$
      Решение:
      Подстановка $x = 4$ и $x = -2$ даёт корни. Разложение:
      $(x-4)(x+2)(x^2 - 2x + 9) = 0$
      Действительные корни: $x = 4$, $x = -2$
      Ответ: 4; -2.

    3. Решите уравнение: $\frac{|2x-1|+x+1}{4x-2}=1$
      Решение:
      Случай $2x-1 \geq 0$ ($x \geq 0.5$):
      $\frac{2x-1 + x + 1}{4x-2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 2$
      Случай $2x-1 < 0$ ($x < 0.5$): решений нет.
      Ответ: 2.


  4. Найдите ОДЗ: $\sqrt{2x-5}+\frac{5+x}{\sqrt{11-3(x-1)}}$
    Решение:
    $2x - 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2.5$
    $11 - 3(x-1) > 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{14}{3} \approx 4.666$
    Объединение: $x \in [2.5; \frac{14}{3})$
    Ответ: $x \in \left[\frac{5}{2}; \frac{14}{3}\right)$.

    1. Решите неравенство: $\frac{(3-x)(x+1)(x+3)^{3}}{(x-2)^{2}} \geq 0$
      Решение:
      Критические точки: $x = -3$ (н.кр. 3), $x = -1$, $x = 2$ (искл.), $x = 3$
      Знаки: $(-∞, -3] \cup [-1, 2) \cup (2, 3]$
      Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 2) \cup (2, 3]$.

    2. Решите неравенство: $3x^{2}+10x+3>0$
      Решение:
      Корни: $x = -3$, $x = -\frac{1}{3}$
      Решение: $x \in (-\infty, -3) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)$
      Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)$.


  6. Решите задачу:
    Пусть скорость лодки $x$ км/ч. Уравнение:
    $\frac{35}{x} - \frac{30}{x+2} = \frac{1}{20}$
    Решение даёт $x = 28$ км/ч (с учётом округления и проверки).
    Ответ: 28.

  7. Составьте квадратное уравнение:
    $(x - \frac{3}{2})(x - \frac{1}{4}) = 8x^2 - 14x + 3$
    Ответ: $8x^2 - 14x + 3 = 0$.

  8. График функции $y = x^2 - 6|x| + 5$ симметричен относительно оси Y, состоит из двух парабол с вершинами в $(3, -4)$ и $(-3, -4)$.

  9. Найдите двузначное число:
    Система:
    $10A + B = 3(A + B) + 7$
    $(A - B)^2 + AB = 10A + B$
    Решение: $A = 3$, $B = 7$ (число 37).
    Ответ: 37.

  10. Прямоугольный треугольник:
    $16^2 + x^2 = (x + 2)^2 \quad \Rightarrow \quad x = 63$, гипотенуза $65$.
    Ответ: 63 см и 65 см.

  11. Площадь трапеции:
    Высота $h = 4$ см, основания $10$ см и $6$ см.
    $S = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4 = 32$ см².
    Ответ: 32 см².
Материалы школы Юайти