8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

КГУ Лицей №2 из 8 в 9 класс 2014 год (вариант 1)

Сложность:
Дата экзамена: 2024
Сложность:
Дата экзамена: 2024
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №2 Г. КАРАГАНДЫ


2014 год


Вариант 1



  1. Вычислите.
    1. $\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{5})^{2}}$
    2. $0,6 \cdot \sqrt{2 \frac{7}{9}}-\frac{1}{4} \sqrt{2,56}+\frac{2}{1,1} \sqrt{0,000121}$
  2. Упростите выражение:
    1. $\frac{\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}}{\sqrt{(a+1)^{2}-4 a}}$ แри $a \geq 2 \quad$
    2. $\left((\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}-\frac{a \sqrt{a}-b \sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right): \frac{1}{\sqrt{a b}}$
  3. Решите уравнения:
    1. $\frac{1}{2 x-x^{2}}+\frac{x-4}{2 x+x^{2}}=\frac{2}{4-x^{2}}$
    2. $(x+3)^{4}-13\left(x^{2}+6 x+9\right)+36=0$
    3. $\frac{|2 x-1|+x+1}{4 x-2}=1$
  4. Найдется область допустимых значений выражения: $\sqrt{4 x-3}+\frac{5+x}{\sqrt{5-2(x+1)}}$
  5. Решите неравенства.
    1. $\frac{(3-x)(x+1)^{2}(x+3)}{(x-2)^{3}} \geq 0$
    2. $5 x^{2}-24 x-5>0$
  6. Теплоход проплыл 48 км по теченню реки и 42 км по озеру. затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки $2 \mathrm{KM} / \mathrm{H}$.
  7. Составьте квадратное уравнение с корнями $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$,
  8. Постройте график функции: $y=x^{2}-2|x|-8$
  9. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 3. Найдите это число, если разность квадратов его единиц и десятков в два раза больше квадрата разности его цифр.
  10. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 7. Разность между гипотенузой и другим катетом равна 1. Найдите второй катет и гипотенузу.
  11. Один из углов прямоугольной трапеции равен $60^{\circ} .$ Найдите плошадь трапеции, если ее основания равны $5 \mathrm{~cm}$ и 8 см.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите.
    1. $\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{5})^{2}}$
      Решение:
      $\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$ (т.к. $2 < \sqrt{5}$)
      $\sqrt{(3-\sqrt{5})^{2}} = |3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}$ (т.к. $3 > \sqrt{5}$)
      Сумма: $(\sqrt{5} - 2) + (3 - \sqrt{5}) = 1$
      Ответ: 1.

    2. $0,6 \cdot \sqrt{2 \frac{7}{9}}-\frac{1}{4} \sqrt{2,56}+\frac{2}{1,1} \sqrt{0,000121}$
      Решение:
      $\sqrt{2 \frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$
      $0,6 \cdot \frac{5}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1$
      $\sqrt{2,56} = 1,6 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4} \cdot 1,6 = 0,4$
      $\sqrt{0,000121} = 0,011 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{1,1} \cdot 0,011 = \frac{20}{11} \cdot \frac{11}{1000} = 0,02$
      Итог: $1 - 0,4 + 0,02 = 0,62$
      Ответ: 0,62.


  2. Упростите выражение:
    1. $\frac{\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}}{\sqrt{(a+1)^{2}-4 a}}$ при $a \geq 2$
      Решение:
      Знаменатель: $\sqrt{(a-1)^{2}} = |a - 1| = a - 1$ (т.к. $a \geq 2$)
      Числитель: $\frac{a - 1}{\sqrt{a}}$
      Упрощение: $\frac{a - 1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{1}{a - 1} = \frac{1}{\sqrt{a}}$
      Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}}$.

    2. $\left((\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}-\frac{a \sqrt{a}-b \sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right): \frac{1}{\sqrt{a b}}$
      Решение:
      Раскрываем квадрат: $a + 2\sqrt{ab} + b$
      Дробь: $\frac{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = a + \sqrt{ab} + b$ (по формуле суммы кубов)
      Вычитание: $(a + 2\sqrt{ab} + b) - (a + \sqrt{ab} + b) = \sqrt{ab}$
      Деление: $\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab} = ab$
      Ответ: $ab$.


  3. Решите уравнения:
    1. $\frac{1}{2 x-x^{2}}+\frac{x-4}{2 x+x^{2}}=\frac{2}{4-x^{2}}$
      Решение:
      Общий знаменатель: $x(2 - x)(2 + x)$
      Умножаем уравнение на знаменатель:
      $(2 + x) + (x - 4)(2 - x) = 2x$
      Раскрываем скобки: $2 + x + 2x - x^{2} - 8 + 4x = 2x$
      Упрощаем: $-x^{2} + 7x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$ (x=2 исключаем)
      Ответ: 3.

    2. $(x+3)^{4}-13\left(x^{2}+6 x+9\right)+36=0$
      Решение:
      Замена $y = (x + 3)^{2}$:
      $y^{2} - 13y + 36 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 9$ или $y = 4$
      Возвращаемся к x:
      $(x + 3)^{2} = 9 \quad \Rightarrow \quad x = 0, -6$
      $(x + 3)^{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad x = -1, -5$
      Ответ: 0, -6, -1, -5.

    3. $\frac{|2 x-1|+x+1}{4 x-2}=1$
      Решение:
      Умножаем на знаменатель: $|2x - 1| + x + 1 = 4x - 2$
      Рассматриваем случаи:
      1) $x \geq 0.5$: $2x - 1 - 3x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$
      2) $x < 0.5$: $1 - 2x - 3x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{5}$ (не подходит)
      Ответ: 2.


  4. Найдите область допустимых значений выражения: $\sqrt{4 x-3}+\frac{5+x}{\sqrt{5-2(x+1)}}$
    Решение:
    1) $4x - 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{3}{4}$
    2) $5 - 2(x + 1) > 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{3}{2}$
    Пересечение: $\frac{3}{4} \leq x < \frac{3}{2}$
    Ответ: $\left[\frac{3}{4}; \frac{3}{2}\right)$.

  5. Решите неравенства.
    1. $\frac{(3-x)(x+1)^{2}(x+3)}{(x-2)^{3}} \geq 0$
      Решение:
      Метод интервалов. Корни числителя: $x = 3$, $x = -1$ (кратность 2), $x = -3$. Знаменатель: $x = 2$.
      Интервалы знака: $(-\infty, -3] \cup \{-1\} \cup [3, \infty)$
      Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{-1\} \cup [3, \infty)$.

    2. $5 x^{2}-24 x-5>0$
      Решение:
      Корни уравнения: $x = 5$, $x = -0.2$
      Интервалы знака: $x \in (-\infty, -0.2) \cup (5, \infty)$
      Ответ: $x \in (-\infty, -0.2) \cup (5, \infty)$.


  6. Теплоход проплыл 48 км по течению реки и 42 км по озеру, затратив 6 часов. Собственная скорость теплохода — 14 км/ч.
    Решение:
    Пусть скорость теплохода $x$ км/ч. Уравнение:
    $\frac{48}{x + 2} + \frac{42}{x} = 6$
    Решение: $x = 14$
    Ответ: 14 км/ч.

  7. Составьте квадратное уравнение с корнями $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$.
    Решение:
    Сумма корней: $\frac{7}{6}$, произведение: $\frac{1}{3}$
    Уравнение: $6x^{2} - 7x + 2 = 0$
    Ответ: $6x^{2} - 7x + 2 = 0$.

  8. Постройте график функции: $y = x^{2} - 2|x| - 8$
    Решение:
    При $x \geq 0$: $y = x^{2} - 2x - 8$ (вершина в $(1, -9)$)
    При $x < 0$: $y = x^{2} + 2x - 8$ (вершина в $(-1, -9)$)
    Пересечения с осью X: $x = 4$, $x = -4$

  9. Двузначное число — 39.
    Решение:
    Условия: $10a + b = 3(a + b) + 3$ и $b^{2} - a^{2} = 2(a - b)^{2}$
    Решение системы: $a = 3$, $b = 9$
    Ответ: 39.

  10. Второй катет — 24 см, гипотенуза — 25 см.
    Решение:
    Уравнение: $7^{2} + b^{2} = (b + 1)^{2}$
    Решение: $b = 24$, $c = 25$
    Ответ: 24 см и 25 см.

  11. Площадь трапеции — $\frac{39\sqrt{3}}{2}$ см².
    Решение:
    Высота: $3\sqrt{3}$ см
    Площадь: $\frac{(5 + 8)}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{39\sqrt{3}}{2}$
    Ответ: $\frac{39\sqrt{3}}{2}$ см².
Материалы школы Юайти