Горчаковский лицей из 7 в 8 класс 2021 год демоверсия

На выполнение конкурсной работы даётся 45 мин. Работа включает 11 заданий. Во всех заданиях требуется записать решение и ответ. Запрещено пользоваться учебниками, тетрадями, калькулятором; черновики не оцениваются.

1. Укажите, какое число является корнем уравнения \(3x-2=x+4\).
   
   
2. Вычислите: \[ 2^4 - 2^3. \]
   
   
3. Упростите выражение: \[ 4n^2 - 0{,}2n^5. \]
   
   
4. Разложите на множители: \[ 5ay - 3bx + ax - 15by. \]
   
   
5. Сократите дробь и найдите её значение: \[ \frac{-14a^2 - 7ab}{b^2 - 4a^2}. \]
   
   
6. Функция задана формулой \(y=0{,}5x - 7{,}1.\)
   1. Постройте её график.
   2. При каком значении аргумента \(y=-5\), \(y=4\)?
   
   
   
7. Решите уравнение: \[ \frac{x-5}{5} + \frac{3x-7}{6} = \frac{1}{6} - \frac{1}{3}x. \]
   
   
8. Три бригады слесарей изготовили 1085 деталей. Вторая бригада изготовила на 2 раза больше, чем первая, а третья — на 70 деталей меньше, чем вторая. Сколько деталей изготовила каждая бригада?
   
   
9. Решите систему: \[ \begin{cases} 2(4x - y) + 3(4x + y) = 32,\\ 5(4x - y) - 2(4x + y) = 4. \end{cases} \]
   
   
10. Один из внешних углов треугольника равен \(36^\circ\). Углы, не смежные с данным внешним, относятся как \(1:2\). Найдите наибольший из них.
    
    
11. Луч \(BK\) — биссектриса угла \(ABD\), луч \(BC\) — биссектриса угла \(ABK\). Угол \(ABC=23^\circ\). Найдите угол \(ABD\).

Решения задач

1. Укажите, какое число является корнем уравнения \(3x-2=x+4\).
   Решение:
   \(3x - 2 = x + 4\) \(3x - x = 4 + 2\) \(2x = 6\) \(x = 3\)
   Ответ: 3.
   
   
2. Вычислите: \[ 2^4 - 2^3. \] Решение: \[ 2^4 = 16,\quad 2^3 = 8 16 - 8 = 8 \] Ответ: 8.
   
   
3. Упростите выражение: \[ 4n^2 - 0{,}2n^5. \] Решение: Упрощение невозможно, так как переменные имеют разные степени.
   Ответ: \(4n^2 - 0{,}2n^5\).
   
   
4. Разложите на множители: \[ 5ay - 3bx + ax - 15by. \] Решение: Группируем слагаемые: \[ (5ay + ax) + (-3bx - 15by) = a(5y + x) - 3b(x + 5y) = (a - 3b)(x + 5y) \] Ответ: \((a - 3b)(x + 5y)\).
   
   
5. Сократите дробь и найдите её значение: \[ \frac{-14a^2 - 7ab}{b^2 - 4a^2}. \] Решение: Числитель: \(-7a(2a + b)\) Знаменатель: \((b - 2a)(b + 2a)\) \[ \frac{-7a(2a + b)}{(b - 2a)(b + 2a)} = \frac{7a}{2a - b} \] Ответ: \(\frac{7a}{2a - b}\).
   
   
6. Функция задана формулой \(y=0{,}5x - 7{,}1\).
   1. Постройте её график.
      Ответ: График прямой линии с угловым коэффициентом \(k = 0{,}5\), пересекающей ось \(Oy\) в точке \((0; -7{,}1)\).
      
      
   2. При каком значении аргумента \(y=-5\), \(y=4\)?
      Решение: Для \(y = -5\): \(0{,}5x - 7{,}1 = -5\) \(0{,}5x = 2{,}1\) \(x = 4{,}2\)
      Для \(y = 4\): \(0{,}5x - 7{,}1 = 4\) \(0{,}5x = 11{,}1\) \(x = 22{,}2\)
      Ответ: \(4{,}2\); \(22{,}2\).
   
   
   
7. Решите уравнение: \[ \frac{x-5}{5} + \frac{3x-7}{6} = \frac{1}{6} - \frac{1}{3}x. \] Решение: Умножаем обе части на 30: \[ 6(x - 5) + 5(3x - 7) = 5 - 10x 6x - 30 + 15x - 35 = 5 - 10x 21x - 65 = 5 - 10x 31x = 70 x = \frac{70}{31} = 2\frac{8}{31} \] Ответ: \(\frac{70}{31}\).
   
   
8. Три бригады слесарей изготовили 1085 деталей. Вторая бригада изготовила в 2 раза больше, чем первая, а третья — на 70 деталей меньше, чем вторая. Сколько деталей изготовила каждая бригада?
   Решение: Пусть первая бригада изготовила \(x\) деталей. Тогда: Вторая: \(2x\) Третья: \(2x - 70\) \[ x + 2x + (2x - 70) = 1085 5x - 70 = 1085 5x = 1155 x = 231 \] \[ 2x = 462,\quad 2x - 70 = 392 \] Ответ: 231; 462; 392.
   
   
9. Решите систему: \[ \begin{cases} 2(4x - y) + 3(4x + y) = 32,\\ 5(4x - y) - 2(4x + y) = 4. \end{cases} \] Решение: Введём замену: \(a = 4x - y\), \(b = 4x + y\): \[ \begin{cases} 2a + 3b = 32,\\ 5a - 2b = 4. \end{cases} \] Умножаем первое уравнение на 5, второе на 2: \[ \begin{aligned} 10a + 15b &= 160,\\ 10a - 4b &= 8. \end{aligned} \] Вычитаем: \(19b = 152 \Rightarrow b = 8\). Подставляем: \(2a + 24 = 32 \Rightarrow a = 4\). Возвращаемся к замене: \[ \begin{cases} 4x - y = 4,\\ 4x + y = 8. \end{cases} \] Складываем: \(8x = 12 \Rightarrow x = 1{,}5\). Вычитаем: \(2y = 4 \Rightarrow y = 2\). Ответ: \(x = 1{,}5\), \(y = 2\).
   
   
10. Один из внешних углов треугольника равен \(36^\circ\). Углы, не смежные с данным внешним, относятся как \(1:2\). Найдите наибольший из них.
    Решение: Сумма несмежных углов равна \(36^\circ\): Пусть углы: \(x\) и \(2x\): \(x + 2x = 36\) \(x = 12\) Наибольший угол: \(2x = 24^\circ\). Ответ: \(24^\circ\).
    
    
11. Луч \(BK\) — биссектриса угла \(ABD\), луч \(BC\) — биссектриса угла \(ABK\). Угол \(ABC=23^\circ\). Найдите угол \(ABD\).
    Решение: Пусть \(\angle ABK = 2 \times 23^\circ = 46^\circ\) (так как BC — биссектриса). Тогда \(\angle ABD = 2 \times 46^\circ = 92^\circ\) (так как BK — биссектриса). Ответ: \(92^\circ\).