8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Горчаковский лицей из 9 в 10 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
СкачатьПечать
youit.school ©

ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ


2021 год


Демонстрационный вариант



  1. Найдите значение выражения: \[ \frac{11a^6b^3 - (3a^2b)^3}{4a^6b^6}, \quad \text{при }b=2. \]

  2. Сократите дробь: \[ \frac{2x^2 + 5x + 2}{3 + 5x - 2x^2}. \]

  3. Решите уравнение: \[ \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{x-1} - 10 = 0. \]

  4. Решите неравенство: \[ x \ge \frac{6x - 15}{x - 2}. \]

  5. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

  6. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $AB = 25$, $\sin A = \tfrac{4}{5}$. Найдите $AH$.

  7. Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет (ответ необходимо обосновать):
    1. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то такие прямые перпендикулярны.
    2. Центр окружности, описанной около четырехугольника, всегда лежит в его внутренней области.
    3. Биссектриса острого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
    4. Центром окружности, описанной около правильного треугольника, является точка пересечения медиан.


  8. Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 20$, $BF = 15$.

  9. Площадь треугольника $ABC$ равна 35, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь трапеции $ABED$.

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ \frac{11a^6b^3 - (3a^2b)^3}{4a^6b^6} \quad \text{при }b=2. \] Решение: Упростим числитель: \[ (3a^2b)^3 = 27a^6b^3 \implies 11a^6b^3 - 27a^6b^3 = -16a^6b^3. \] Подставим в выражение: \[ \frac{-16a^6b^3}{4a^6b^6} = \frac{-4}{b^3}. \] При \( b = 2 \): \[ \frac{-4}{2^3} = \frac{-4}{8} = -0,5. \] Ответ: \(-0,5\).

  2. Сократите дробь: \[ \frac{2x^2 + 5x + 2}{3 + 5x - 2x^2}. \] Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители: \[ 2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2), \] \[ -2x^2 + 5x + 3 = -(2x + 1)(x - 3). \] Сократим: \[ \frac{(2x + 1)(x + 2)}{-(2x + 1)(x - 3)} = \frac{x + 2}{3 - x}. \] Ответ: \(\frac{x + 2}{3 - x}\).

  3. Решите уравнение: \[ \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{x-1} - 10 = 0. \] Решение: Замена \( y = \frac{1}{x-1} \): \[ y^2 + 3y - 10 = 0 \implies y = 2 \text{ или } y = -5. \] Возвращаемся к \(x\): \[ \frac{1}{x-1} = 2 \implies x = \frac{3}{2}, \] \[ \frac{1}{x-1} = -5 \implies x = \frac{4}{5}. \] Ответ: \(0,8; \quad1,5\).

  4. Решите неравенство: \[ x \ge \frac{6x - 15}{x - 2}. \] Решение: Преобразуем: \[ \frac{x(x-2) - 6x + 15}{x-2} \ge 0 \implies \frac{x^2 -8x +15}{x-2} \ge 0. \] Корни числителя: \(x = 3\), \(x = 5\); знаменатель: \(x = 2\). Метод интервалов дает: \[ x \in (-\infty; 2) \cup [3; 5]. \] Ответ: \(x \in (-\infty;2) \cup [3;5]\).

  5. Скорость товарного поезда — \(v\) км/ч. Уравнение времени: \[ \frac{180}{v} - \frac{180}{v+45} = 2. \] Решение: \[ 180 \cdot 45 = 2v(v+45) \implies v^2 +45v -4050 = 0 \implies v = 45. \] Ответ: 45 км/ч.

  6. В треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)): \[ BC = AB \cdot \sin A = 20, \quad AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = 15. \] Высота \(CH\): \[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = 12 \implies AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = 9. \] Ответ: 9.

  7. Утверждения:
    1. Неверно (перпендикулярность в пространстве не гарантирована).
    2. Неверно (центр может быть вне четырёхугольника).
    3. Верно (равнобедренный треугольник образуется).
    4. Верно (совпадение центров).


  8. Треугольник \(AFB\) прямоугольный: \[ AB = \sqrt{AF^2 + BF^2} = \sqrt{20^2 +15^2} = 25. \] Ответ: 25.

  9. Средняя линия \(DE\) делит площадь треугольника в соотношении 1:3: \[ S_{ABED} = S_{ABC} - \frac{S_{ABC}}{4} = 35 - 8,75 = 26,25. \] Ответ: 26,25.
Материалы школы Юайти