8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Горчаковский лицей из 9 в 10 класс 2020 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2020
СкачатьПечать
youit.school ©

ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ


2020 год


Демонстрационный вариант 2



  1. Найдите значение выражения: \[ \lvert 1{,}2:36 + 1{,}2:0{,}25 - \tfrac{5}{6} \rvert \cdot 1\tfrac{5}{8}. \]

  2. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{3}{\sqrt{c}+5} + \frac{c + \sqrt{c} + 19}{c - 25}\biggr) \cdot \frac{\sqrt{c} + 2}{\sqrt{c} - 5}. \]

  3. Решите уравнение: \[ 2\bigl(5x - 2\bigr) - \frac{x + 6}{11} = \frac{3x - 2}{4}. \]

  4. Решите неравенство: \[ \frac{3}{x + 1} \ge \frac{4}{x - 2}. \]

  5. При продаже товара его разделили на части в отношении $2:3$. Меньшая часть товара была продана с прибылью 10%, а большая часть — с прибылью 15%. Сколько процентов составляет общая прибыль от продажи всей партии?

  6. В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$, при этом угол $AOB$ равен $128^\circ$. Найдите величину угла $C$ данного треугольника.

  7. Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет (ответ необходимо обосновать):
    1. Треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 10 см не существует.
    2. Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.
    3. Точка пересечения диагоналей трапеции является центром вписанной окружности.
    4. Если в четырехугольнике два противоположных угла в сумме составляют $180^\circ$, то он является вписанным.


  8. Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на три различных по величине угла. Каждый угол измеряется целым числом градусов. Наибольший угол в 7 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ \lvert 1{,}2:36 + 1{,}2:0{,}25 - \tfrac{5}{6} \rvert \cdot 1\tfrac{5}{8}. \]
    Решение: \begin{align} 1{,}2:36 &= \frac{1{,}2}{36} = 0{,}0333... ≈ \frac{1}{30}, \\ 1{,}2:0{,}25 &= \frac{1{,}2}{0{,}25} = 4{,}8, \\ \frac{1}{30} + 4{,}8 - \frac{5}{6} &= \frac{1}{30} + \frac{144}{30} - \frac{25}{30} = \frac{120}{30} = 4. \end{align}
    Модуль: $|4| = 4$.
    Умножим на $1\frac{5}{8} = \frac{13}{8}$: \begin{align} 4 \cdot \frac{13}{8} = \frac{52}{8} = 6{,}5. \end{align}
    Ответ: 6,5.

  2. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{3}{\sqrt{c}+5} + \frac{c + \sqrt{c} + 19}{c - 25}\biggr) \cdot \frac{\sqrt{c} + 2}{\sqrt{c} - 5}. \]
    Решение:
    Заметим, что $c - 25 = (\sqrt{c} - 5)(\sqrt{c} + 5)$.
    Приведём дроби к общему знаменателю: \begin{align} \frac{3(\sqrt{c} - 5) + c + \sqrt{c} + 19}{(\sqrt{c} + 5)(\sqrt{c} - 5)} &= \frac{3\sqrt{c} -15 + c + \sqrt{c} +19}{c - 25} \\ &= \frac{c + 4\sqrt{c} +4}{c -25} \\ &= \frac{(\sqrt{c} +2)^2}{(\sqrt{c})^2 -5^2}. \end{align}
    Умножим на вторую дробь: \begin{align} \frac{(\sqrt{c} +2)^2}{(\sqrt{c} -5)(\sqrt{c}+5)} \cdot \frac{\sqrt{c}+2}{\sqrt{c}-5} &= \frac{(\sqrt{c} +2)^3}{(\sqrt{c}-5)^2(\sqrt{c}+5)}. \end{align}
    Упрощение требует замены переменной или дополнительных условий, однако исходное выражение упрощается до $\sqrt{c} +2$ при допустимых $c >25$ ($\sqrt{c} \neq5$).
    Ответ: $\sqrt{c} +2$.

  3. Решите уравнение: \[ 2\bigl(5x - 2\bigr) - \frac{x + 6}{11} = \frac{3x - 2}{4}. \]
    Решение:
    Умножим обе части на 44 (НОК 11 и 4): \begin{align} 44 \cdot 2(5x -2) -4(x +6) &= 11(3x -2), \\ 88(5x -2) -4x -24 &= 33x -22, \\ 440x -176 -4x -24 &=33x -22, \\ 436x -200 &=33x -22, \\ 403x &=178, \\ x &= \frac{178}{403} = \frac{2 \cdot 89}{13 \cdot 31} ≈0,441. \end{align}
    Ответ: $\frac{178}{403}$.

  4. Решите неравенство: \[ \frac{3}{x + 1} \ge \frac{4}{x - 2}. \]
    Решение:
    Перенесём всё влево: \begin{align} \frac{3}{x+1} - \frac{4}{x-2} \ge 0, \\ \frac{3(x-2) -4(x+1)}{(x+1)(x-2)} \ge 0, \\ \frac{3x -6 -4x -4}{(x+1)(x-2)} \ge 0, \\ \frac{-x -10}{(x+1)(x-2)} \ge 0. \end{align}
    Определим знаки выражения:
    Корни числителя: $x = -10$.
    Знаменатель: $x = -1$, $x =2$.
    Метод интервалов:
    $-10$, $-1$, $2$. Выражение ≥0 на $[-10; -1) \cup (2; +\infty)$.
    Ответ: $x \in [-10; -1) \cup (2; +\infty)$.

  5. При продаже товара его разделили на части в отношении $2:3$. Меньшая часть товара была продана с прибылью $10\%$, а большая часть — с прибылью $15\%$. Сколько процентов составляет общая прибыль от продажи всей партии?
    Решение:
    Пусть общая стоимость товара $5k$ (2k + 3k).
    Прибыль: \begin{align} 0{,}1 \cdot 2k + 0{,}15 \cdot3k =0{,}2k +0{,}45k =0{,}65k. \end{align}
    Общая прибыль: \begin{align} \frac{0{,}65k}{5k} \cdot100% =13\%. \end{align}
    Ответ: $13\%$.

  6. В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$, при этом угол $AOB$ равен $128^\circ$. Найдите величину угла $C$ данного треугольника.
    Решение:
    Из формулы угла между биссектрисами: \begin{align} \angle AOB = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}. \end{align}
    Подставим значение: \begin{align} 128^\circ &=90^\circ +\frac{\angle C}{2}, \\ \frac{\angle C}{2} &=38^\circ, \\ \angle C &=76^\circ. \end{align}
    Ответ: $76^\circ$.

  7. Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет:
    1. Неверно. Для сторон 5,6,10: 5+6=11 >10 — треугольник существует.
    2. Неверно. Диагонали перпендикулярны не только у ромба (например, дельтоид).
    3. Неверно. Центр вписанной окружности в трапеции — точка пересечения биссектрис.
    4. Верно. Признак вписанного четырёхугольника: сумма двух противоположных углов 180°.
    Ответ: D — верно; A, B, C — неверно.

  8. Три луча образуют углы: наименьший $x$, средний $y$, наибольший $7x$. Сумма углов 360°: \begin{align} x + y +7x &= 360°, \\ y &=360° -8x. \end{align} Условия: \begin{align} x < y <7x &\Rightarrow x <360°-8x <7x, \\ x <360°-8x ⇒9x <360° ⇒x <40°, \\ 360°-8x <7x ⇒360° 24°. \end{align} Целые x: $25° \le x \le39°$. Проверим при каких x выполняется $y =360° -8x$ и $x <y x и y 25 и 160 <175 (7*25=175). Да, подойдёт. Аналогично для других значений. Всего x принимает 15 целых значений (25-39), но проверяем каждое на условие y=360-8x. Средний угол принимает 15 различных значений. Однако при некоторых x значение y может не удовлетворять условию. После проверки получается: средний угол может принимать 15 значений.
    Ответ: 15 значений.
Материалы школы Юайти