Горчаковский лицей из 9 в 10 класс 2020 год демоверсия
Печать
youit.school ©
ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ
2020 год
Демонстрационный вариант
- Запишите сумму в виде десятичной дроби:
\[
7\cdot10^3 + 9\cdot10^0 + 4\cdot10^{-2}.
\]
- Вычислите:
\[
\frac{(4-\sqrt{10})(4+\sqrt{10})}{\sqrt{18\bigl(\sqrt{50}-\sqrt{162}\bigr)}}.
\]
- Сократите дробь:
\[
\frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 6x + 9}.
\]
- Решите уравнения:
- $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$.
- $\displaystyle \frac{6x}{x^2 - 1} + \frac{x}{x - 1} = \frac{3}{1 + x}.$
- Решите неравенство:
\[
(x + 5)^2 - x(2x - 3) \ge 37.
\]
- Решите задачу: лодка проплыла 15 км по течению реки и вернулась, затратив на обратный путь на 1 час больше. Найдите скорость лодки по течению реки, если скорость течения составляет 2 км/ч.
- Периметр ромба равен 68 см, длина одной диагонали равна 30 см. Найдите длину другой диагонали.
-
- В одной системе координат постройте графики функций \[ y = -\frac{4}{x}, \quad y = -x^2 + 4x - 1. \]
- Решите графически систему уравнений \[ \begin{cases} y = -\frac{4}{x}, \\ y = -x^2 + 4x - 1. \end{cases} \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Запишите сумму в виде десятичной дроби:
\[
7\cdot10^3 + 9\cdot10^0 + 4\cdot10^{-2}.
\]
Решение:
\[
7 \cdot 1000 + 9 \cdot 1 + 4 \cdot 0,01 = 7000 + 9 + 0,04 = 7009,04
\]
Ответ: 7009,04.
- Вычислите:
\[
\frac{(4-\sqrt{10})(4+\sqrt{10})}{\sqrt{18\bigl(\sqrt{50}-\sqrt{162}\bigr)}}.
\]
Решение:
Числитель: $(4-\sqrt{10})(4+\sqrt{10}) = 4^2 - (\sqrt{10})^2 = 16 - 10 = 6$.
Знаменатель:
\[
\sqrt{18 \left(5\sqrt{2} - 9\sqrt{2}\right)} = \sqrt{18 \cdot (-4\sqrt{2})} = \sqrt{-72\sqrt{2}} \quad \text{(не имеет действительного решения)}
\]
Ответ: выражение не определено в области действительных чисел.
- Сократите дробь:
\[
\frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 6x + 9}.
\]
Решение:
Числитель: $2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$.
Знаменатель: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$. \[ \frac{(2x + 1)(x - 3)}{(x - 3)^2} = \frac{2x + 1}{x - 3}. \] Ответ: $\dfrac{2x + 1}{x - 3}$.
- Решите уравнения:
- $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$.
Решение:
Замена $y = x^2$:
\[
y^2 - 15y - 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 16 \quad (\text{т.к. } y = -1 \text{ не подходит}).
\]
\[
x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4.
\]
Ответ: $\pm4$.
- $\displaystyle \frac{6x}{x^2 - 1} + \frac{x}{x - 1} = \frac{3}{1 + x}$. Решение: Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$. \[ 6x + x(x+1) = 3(x-1) \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x + 3 = 0. \] Корни: $x = -3$ (подходит), $x = -1$ (не входит в ОДЗ). Ответ: $-3$.
- $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$.
Решение:
Замена $y = x^2$:
\[
y^2 - 15y - 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 16 \quad (\text{т.к. } y = -1 \text{ не подходит}).
\]
\[
x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4.
\]
Ответ: $\pm4$.
- Решите неравенство:
\[
(x + 5)^2 - x(2x - 3) \ge 37.
\]
Решение:
\[
x^2 + 13x - 12 \le 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [1; 12].
\]
Ответ: $x \in [1; 12]$.
- Решите задачу:
Решение:
Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда:
\[
\frac{15}{x - 2} - \frac{15}{x + 2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 8.
\]
Скорость по течению: $8 + 2 = 10$ км/ч.
Ответ: 10 км/ч.
- Периметр ромба равен 68 см. Найдите длину диагонали:
Решение:
Сторона ромба: $\frac{68}{4} = 17$ см. Половина диагонали:
\[
\sqrt{17^2 - 15^2} = 8 \quad \Rightarrow \quad \text{другая диагональ} = 16 \text{ см}.
\]
Ответ: 16 см.
-
- Графики функций построены.
- Система уравнений имеет два решения (точки пересечения графиков). Ответ: приближённо $x_1 \approx 0,5$, $x_2 \approx 3,5$.
Материалы школы Юайти