8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Горчаковский лицей из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2019
СкачатьПечать
youit.school ©

ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ


2019 год


Демонстрационный вариант



  1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(8\tfrac{7}{12}-2\tfrac{17}{36}\bigr)\cdot 2{,}7 - 3\tfrac{1}{4}\cdot 0{,}65. \]

  2. Упростите выражение: \[ \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-5}\,\Bigl(\frac{a+\sqrt{a}+19}{a-25} + \frac{3}{\sqrt{a}+5}\Bigr). \]

  3. Постройте графики следующих функций:
    1. $y = x^2 + 2x - 3$;
    2. $y = |x^2 + 2x - 3|$;
    3. $y = |\,x^2 + 2x - 3\,| - 4$.


  4. Решите неравенство: \[ \frac{3}{x+3} \ge \frac{1}{2 - x}. \]

  5. Цена товара сначала была увеличена на $10\%$, а затем уменьшена на $20\%$. Как и на сколько процентов изменилась цена товара по сравнению с первоначальной?

  6. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

  7. Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет (ответ необходимо обосновать):
    1. Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен $30^\circ$, то другой его угол равен $120^\circ$.
    2. Если в параллелограмме можно вписать окружность, то он является квадратом.
    3. В любом выпуклом четырёхугольнике всегда найдётся острый угол.
    4. Если в четырёхугольнике два противоположных угла в сумме составляют $180^\circ$, то он является описанным.


  8. Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого на 1 больше их произведения. Достаточно найти какое-нибудь одно такое число.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ \left(8\tfrac{7}{12}-2\tfrac{17}{36}\right)\cdot 2{,}7 - 3\tfrac{1}{4}\cdot 0{,}65. \] Решение: \[ 8\tfrac{7}{12} = \frac{103}{12}, \quad 2\tfrac{17}{36} = \frac{89}{36} \] \[ \frac{103}{12} - \frac{89}{36} = \frac{309 - 89}{36} = \frac{220}{36} = \frac{55}{9} \] \[ \frac{55}{9} \cdot 2{,}7 = \frac{55}{9} \cdot \frac{27}{10} = \frac{165}{10} = 16{,}5 \] \[ 3\tfrac{1}{4} = \frac{13}{4}, \quad \frac{13}{4} \cdot 0{,}65 = \frac{13}{4} \cdot \frac{13}{20} = \frac{169}{80} = 2{,}1125 \] \[ 16{,}5 - 2{,}1125 = 14{,}3875 \] Ответ: \(14{,}3875\).

  2. Упростите выражение: \[ \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-5}\left(\frac{a+\sqrt{a}+19}{a-25} + \frac{3}{\sqrt{a}+5}\right). \] Решение: \[ a - 25 = (\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5) \] \[ \frac{a + \sqrt{a} + 19}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)} + \frac{3}{\sqrt{a}+5} = \frac{a + \sqrt{a} + 19 + 3(\sqrt{a}-5)}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)} \] \[ = \frac{a + 4\sqrt{a} + 4}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)} = \frac{(\sqrt{a} + 2)^2}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)} \] Подставляем обратно: \[ \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-5} \cdot \frac{(\sqrt{a} + 2)^2}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)} = \frac{(\sqrt{a} + 2)^3}{(\sqrt{a}-5)^2(\sqrt{a}+5)} \] Ответ: \(\frac{(\sqrt{a}+2)^3}{(\sqrt{a}-5)^2(\sqrt{a}+5)}\).

  3. Постройте графики функций:
    1. \(y = x^2 + 2x - 3\). Вершина в \((-1, -4)\), корни \(x=1\) и \(x=-3\).
    2. \(y = |x^2 + 2x - 3|\). Отражаем часть графика ниже оси OX вверх.
    3. \(y = |x^2 + 2x - 3| - 4\). Сдвигаем график из пункта б) на 4 единицы вниз.


  4. Решите неравенство: \[ \frac{3}{x+3} \ge \frac{1}{2 - x}. \] Решение: \[ \frac{3}{x+3} - \frac{1}{2-x} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3(2-x) - (x+3)}{(x+3)(2-x)} \ge 0 \] \[ \frac{6 - 3x - x - 3}{(x+3)(2-x)} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3 - 4x}{(x+3)(2-x)} \ge 0 \] Критические точки: \(x = -3\), \(x = \frac{3}{4}\), \(x=2\). Метод интервалов: Ответ: \(x \in (-\infty, -3) \cup [\frac{3}{4}, 2)\).

  5. Изменение цены товара: Пусть начальная цена \(A\). После повышения: \(A \cdot 1{,}1\). После уценки: \(1{,}1A \cdot 0{,}8 = 0{,}88A\). Изменение: \(0{,}88A - A = -0{,}12A\). Ответ: уменьшилась на \(12\%\).

  6. Высота в прямоугольном треугольнике: Гипотенуза \(c = \sqrt{10^2 + 24^2} = 26\). Площадь \(S = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120\). Высота \(h = \frac{2S}{c} = \frac{240}{26} = \frac{120}{13} \approx 9{,}23\).

  7. Верность утверждений:
    1. Неверно: может быть \(30^\circ\), \(30^\circ\), \(120^\circ\).
    2. Неверно: ромб тоже можно вписать.
    3. Неверно: пример квадрата с прямыми углами.
    4. Неверно: это признак вписанного четырёхугольника.


  8. Четырёхзначное число: Число 1000: сумма цифр \(1+0+0+0=1\), произведение \(1 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0\), \(1-0=1\). Кратность 4: 1000 делится на 4. Ответ: 1000.
Материалы школы Юайти