Горчаковский лицей из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1

ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ

2018 год

Демонстрационный вариант

1. Найдите значение выражения: \[ (0{,}6 - 4{,}7) \colon \bigl(2\tfrac{1}{7} - 3\tfrac{4}{9}\bigr). \]
   
   
2. Упростите выражение: \[ \bigl(1 - 2\tfrac{\sqrt{b}}{a} + \tfrac{b}{a}\bigr) \colon (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2. \]
   
   
3. Постройте графики следующих функций:
   1. $y = x^2 + 2x - 3$;
   2. $y = \lvert x^2 + 2x - 3 \rvert$;
   3. $y = \lvert x^2 + 2x - 3 \rvert - 4$.
   
   
   
4. Решите неравенство: \[ \frac{x - 4}{x + 5} \ge 2. \]
   
   
5. Из $A$ в $B$ одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью $30$ км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью на $9$ км/ч больше скорости первого. В результате оба автомобилиста прибыли в $B$ одновременно. Найдите скорость первого автомобиля.
   
   
6. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $\angle ABD$ равен $85^\circ$, угол $\angle CAD$ равен $19^\circ$. Найдите величину дуги $ADC$.
   
   
7. Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет (ответ необходимо обосновать):
   1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри треугольника.
   2. Если в трапецию можно вписать окружность, то трапеция равнобедренная.
   3. Один из углов треугольника всегда не меньше $60^\circ$.
   4. Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.
   
   
   
8. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир?
   
   

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ (0{,}6 - 4{,}7) \colon \bigl(2\tfrac{1}{7} - 3\tfrac{4}{9}\bigr). \]
   Решение: \[ 0{,}6 - 4{,}7 = -4{,}1;\quad 2\tfrac{1}{7} = \frac{15}{7}; \quad 3\tfrac{4}{9} = \frac{31}{9}. \] \[ \frac{15}{7} - \frac{31}{9} = \frac{135 - 217}{63} = -\frac{82}{63}. \] \[ -4{,}1 \div \left(-\frac{82}{63}\right) = \frac{41}{10} \cdot \frac{63}{82} = \frac{63}{20} = 3{,}15. \]
   Ответ: \(3{,}15\).
   
   
2. Упростите выражение: \[ \bigl(1 - 2\tfrac{\sqrt{b}}{a} + \tfrac{b}{a}\bigr) \colon (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2. \]
   Решение: \[ 1 - 2\tfrac{\sqrt{b}}{a} + \tfrac{b}{a} = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{a} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a}. \] \[ \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a} \colon (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = \frac{1}{a}. \]
   Ответ: \(\dfrac{1}{a}\).
   
   
3. Постройте графики следующих функций:
   1. \(y = x^2 + 2x - 3\);
   2. \(y = \lvert x^2 + 2x - 3 \rvert\);
   3. \(y = \lvert x^2 + 2x - 3 \rvert - 4\).
   
   Решение:
   1. Вершина параболы: \(x = -1\), \(y = -4\). Точки пересечения с осями: \((0; -3)\), \((-3; 0)\), \((1; 0)\).
   2. График \(y = x^2 + 2x - 3\), отражённый вверх на участке \(x \in (-3; 1)\).
   3. График пункта б) сдвинут на 4 единицы вниз. Новые точки пересечения: \(\pm2\sqrt{2}-1\) при \(y = 0\).
4. Решите неравенство: \[ \frac{x - 4}{x + 5} \ge 2. \]
   Решение: \[ \frac{x - 4}{x + 5} - 2 \ge 0 \implies \frac{-x - 14}{x + 5} \ge 0. \] Метод интервалов: числитель \(x = -14\), знаменатель \(x = -5\). Знаки на интервалах: \((-14, -5) → +\), \((−\infty, −14)\) и \((-5, +\infty) → −\).
   Ответ: \([-14; -5)\).
   
   
5. Пусть скорость первого автомобиля \(x\) км/ч. Второй автомобиль: \[ \frac{S}{x} = \frac{S}{2 \cdot 30} + \frac{S}{2(x + 9)}. \] Сокращаем \(S\) и решаем: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2(x + 9)} \implies 2x^2 - 42x - 1080 = 0 \implies x = 36. \]
   Ответ: \(36\) км/ч.
   
   
6. Вписанный четырёхугольник \(ABCD\). Углы: \[ \angle ABD = 85^\circ \implies \breve{AD} = 170^\circ; \quad \angle CAD = 19^\circ \implies \breve{CD} = 38^\circ. \]
   Дуга \(ADC = \breve{AD} + \breve{CD} = 208^\circ\).
   
   
   Ответ: \(208^\circ\).
   
   
7. Верные утверждения:
   1. Неверно (пример: тупоугольный треугольник).
   2. Верно (равнобедренная трапеция циклическая).
   3. Верно (сумма углов треугольника \(180^\circ\)).
   4. Неверно (параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник).
   
   
   
8. Разложим \(110 = 2 \cdot 5 \cdot 11\). Условия \(n > m > k > 1\):
   \(k = 2\), \(m = 5\), \(n = 11\).
   Ответ: \(11\) этажей.