Горчаковский лицей из 9 в 10 класс 2017 год демоверсия

ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ

2017 год

Демонстрационный вариант 1

1. Вычислите: \[ \sqrt[5]{10 - \sqrt{68}}\;\cdot\;\sqrt[5]{10 + \sqrt{68}} \;+\; \bigl(\sqrt[4]{125}\bigr)\,\bigl(\sqrt[4]{5}\bigr) \;+\; \bigl(-2\sqrt{2}\bigr)^{7}. \]
2. Вычислите: \[ \bigl(\,(25^{-1})^{-\tfrac12}\,\cdot\,7^{-1}\;-\;(8^{-1})^{-\tfrac13}\,\cdot\,2^{-3}\bigr) \;\mathbin{:}\; 49^{-\tfrac12}. \]
3. Вычислите: \[ 49^{0.5\bigl(\log_{7}9 - \log_{7}6\bigr)} \;-\; 16 \cdot 5^{-\log_{\sqrt{5}}4}. \]
4. Решите уравнение \[ 25^{\,x+0.5} \;-\; 10 \cdot 5^{\,x-1} \;-\; 3 \;=\; 0. \]
5. Решите уравнение \[ \log_{4} x^{2} \;+\; 12\,\log_{x} 4 \;=\; 10. \]
6. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{16 - x^2}\;\cdot\;\log_{\,x+3}\!\bigl(2x^2 - 3x - 5\bigr). \]

Решения задач

1. Запишите сумму в виде десятичной дроби: \[ 7\cdot10^{3} + 9\cdot10^{0} + 4\cdot10^{-2} \] Решение: \[ 7 \cdot 1000 + 9 \cdot 1 + 4 \cdot 0,01 = 7000 + 9 + 0,04 = 7009,04 \] Ответ: $7009,04$.
2. Вычислите: \[ \frac{(4 - \sqrt{10})\;\cdot\;(4 + \sqrt{10})} {\sqrt{18}\,(\,\sqrt{50} - \sqrt{162}\,)} \] Решение: Числитель: \[ (4 - \sqrt{10})(4 + \sqrt{10}) = 4^2 - (\sqrt{10})^2 = 16 - 10 = 6 \] Знаменатель: \[ \sqrt{18}(\sqrt{50} - \sqrt{162}) = 3\sqrt{2}(5\sqrt{2} - 9\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}(-4\sqrt{2}) = -24 \] Результат: \[ \frac{6}{-24} = -0,25 \] Ответ: $-0,25$.
3. Сократите дробь: \[ \frac{2x^2 - 5}{x^2 - 6x + 9} \] Решение: Знаменатель раскладывается как квадрат разности: \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \] Числитель не имеет общих множителей со знаменателем. Ответ: $\dfrac{2x^2 - 5}{(x - 3)^2}$ (дробь сократить нельзя).
4. Решите уравнения:
   1. \[ x^4 - 15x^2 - 16 = 0 \] Решение: Замена $y = x^2$: \[ y^2 - 15y - 16 = 0 \] Корни: \[ y = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2} = \frac{15 \pm 17}{2} \Rightarrow y = 16\; \text{(т.к. $y = -1$ не подходит)} \] Обратная замена: \[ x = \pm\sqrt{16} = \pm4 \] Ответ: $x = \pm4$.
   2. \[ \frac{6x}{x^2 - 1} \;+\; \frac{x}{x - 1} \;=\; \frac{3}{1 + x} \] Решение: ОДЗ: $x \neq \pm1$. Умножим обе части на $(x^2 - 1)$: \[ 6x + x(x+1) = 3(x-1) \Rightarrow 6x + x^2 + x = 3x - 3 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0 \] Корни: \[ x = \frac{-4 \pm 2}{2} \Rightarrow x = -1\; \text{(не входит в ОДЗ)}, \; x = -3 \] Ответ: $x = -3$.
5. Решите неравенство: \[ (x+5)^2 \;-\; x\,(2x-3) \;\ge\; 37 \] Решение: Раскрываем скобки: \[ x^2 + 10x + 25 - 2x^2 + 3x \ge 37 \Rightarrow -x^2 + 13x - 12 \ge 0 \Rightarrow x^2 - 13x + 12 \le 0 \] Корни: \[ x = \frac{13 \pm 11}{2} \Rightarrow x = 12, \;x = 1 \] Решение неравенства: \[ x \in [1; 12] \] Ответ: $x \in [1; 12]$.
6. Решите задачу:
   Лодка проплыла 15 км по течению реки и вернулась, затратив на обратный путь на 1 час больше. Найдите скорость лодки по течению реки, если скорость течения составляет 2 км/ч.
   Решение: Пусть $v$ — собственная скорость лодки. Тогда: \[ \frac{15}{v + 2} + 1 = \frac{15}{v - 2} \Rightarrow \frac{15(v - 2) + (v + 2)(v - 2)}{(v + 2)(v - 2)} = \frac{15(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} \] Упрощая: \[ 15v - 30 + v^2 - 4 = 15v + 30 \Rightarrow v^2 - 64 = 0 \Rightarrow v = 8\; \text{км/ч} \] Скорость по течению: \[ 8 + 2 = 10\; \text{км/ч} \] Ответ: 10 км/ч.
7. Периметр ромба равен 68 см, длина одной диагонали равна 30 см. Найти длину другой диагонали.
   Решение: Сторона ромба: \[ \frac{68}{4} = 17\; \text{см} \] Половина диагонали: \[ \frac{30}{2} = 15\; \text{см} \] По теореме Пифагора: \[ \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{64} = 8\; \text{см} \quad \Rightarrow \quad \text{диагональ} = 16\; \text{см} \] Ответ: 16 см.
8. Графики функций:
   1. Построение графиков требует визуального анализа и не может быть решено аналитически в данном формате.
   2. Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} y = -\dfrac{4}{x},\\ y = -x^2 + 4x - 1. \end{cases} \] Решение: Приравниваем уравнения: \[ -\frac{4}{x} = -x^2 + 4x -1 \Rightarrow x^3 -4x^2 +x -4 =0 \Rightarrow (x -4)(x^2 +1) =0 \Rightarrow x = 4 \] При $x=4$: \[ y = -\frac{4}{4} = -1 \] Ответ: $(4; -1)$.