Горчаковский лицей из 10 в 11 класс 2020 год демоверсия 2

ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ

2020 год

Демонстрационный вариант 2

1. Упростите выражение: \[ \frac{2\,(1 - \cos\alpha)\,\cdot\,(1 + \cos\alpha)}{\sin 2\alpha} \]
2. Найдите: \[ \sin\alpha,\quad \sin2\alpha,\quad \cos2\alpha,\quad \tg\alpha,\quad \tg2\alpha, \] зная, что \[ \cos\alpha = \frac{12}{13},\qquad \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi. \]
3. Решите уравнение: \[ 2\cos^2 x \;-\;\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+x\Bigr)\;=\;1 \]
4. Решите неравенство: \[ \sin\frac{x}{2}\;\cdot\;\cos\frac{x}{2}\;\le\;\frac{\sqrt{3}}{4} \]
5. Исследуйте функцию \[ y = x^4 - 4x^3 + 9 \] на возрастание, убывание, экстремумы и постройте график этой функции.
6. Решите задачу:
   В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 10 см, стороны основания $6\sqrt{3}$ см. Найдите высоту пирамиды.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{2\,(1 - \cos\alpha)\,\cdot\,(1 + \cos\alpha)}{\sin 2\alpha} \] Решение:
   \[ \frac{2(1 - \cos^2\alpha)}{\sin2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha \] Ответ: \( \tg\alpha \)
   
   
2. Найдите тригонометрические функции:
   Зная, что \( \cos\alpha = \frac{12}{13} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \), находим:
   \[ \sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\frac{5}{13}; \quad \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{120}{169} \] \[ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = \frac{119}{169}; \quad \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{5}{12} \] \[ \tg2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = -\frac{120}{119} \] Ответ: \( \sin\alpha = -\frac{5}{13}; \quad \sin2\alpha = -\frac{120}{169}; \quad \cos2\alpha = \frac{119}{169}; \quad \tg\alpha = -\frac{5}{12}; \quad \tg2\alpha = -\frac{120}{119} \)
   
   
3. Решите уравнение: \[ 2\cos^2 x \;-\;\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+x\Bigr)\;=\;1 \] Решение: \[ 2\cos^2x + \sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad 2(1 - \sin^2x) + \sin x = 1 \] \[ 2\sin^2x - \sin x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 1 \;\; \text{или} \;\; \sin x = -\frac{1}{2} \] \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \] Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \;\; x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \;\; x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \)
   
   
4. Решите неравенство: \[ \sin\frac{x}{2}\;\cdot\;\cos\frac{x}{2}\;\le\;\frac{\sqrt{3}}{4} \] Решение: \[ \frac{1}{2}\sin x \le \frac{\sqrt{3}}{4} \quad \Rightarrow \quad \sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ x \in \left[-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n,\; \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right], \quad n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x \in \left[-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n,\; \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right] \)
   
   
5. Исследуйте функцию \( y = x^4 - 4x^3 + 9 \):
   Производная: \( y' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) \).
   Критические точки: \( x = 0 \) (перегиб), \( x = 3 \) (минимум).
   Убывает при \( x 3 \). Минимум в точке \( (3, -18) \).
   График: ветви вверх, точка минимума (3, -18), пересечение с осью \( Oy \) в \( (0,9) \).
   
   
6. Найдите высоту пирамиды:
   Радиус описанной окружности основания \( R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \) см.
   Высота пирамиды \( H = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8 \) см.
   Ответ: 8 см.