Горчаковский лицей из 10 в 11 класс 2020 год демоверсия 1

ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ

2020 год

Демонстрационный вариант 1

1. Вычислите: \[ \sqrt[5]{\,10 - \sqrt{68}\,}\;\cdot\;\sqrt[5]{\,10 + \sqrt{68}\,} \;+\;\sqrt[4]{125}\;\cdot\;\sqrt[4]{5} \;+\;(-2\cdot\sqrt{2})^{7} \]
2. Вычислите: \[ \bigl(\tfrac{1}{25}\bigr)^{-\tfrac12}\;\cdot\;7^{-1} \;-\;\bigl(\tfrac{1}{8}\bigr)^{-\tfrac13}\;\cdot\;2^{-3} \;,\quad 49^{-\tfrac12} \]
3. Вычислите: \[ 49^{0.5\bigl(\log_{7}9 - \log_{7}6\bigr)} \;-\;16\cdot 5^{-\log_{\sqrt{5}}4} \]
4. Решите уравнение: \[ 25^{\,x+0.5} \;-\; 10\cdot 5^{\,x-1} \;-\; 3 = 0 \]
5. Решите уравнение: \[ \log_{4} x^{2} \;+\; 12\,\log_{x} 4 \;=\; 10 \]
6. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{16 - x^2}\;\cdot\;\log_{x+3}\bigl(2x^2 - 3x - 5\bigr). \] Решите задачу:
   Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 17 см, стороны основания 9 см и 12 см. Найдите высоту параллелепипеда.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \sqrt[5]{\,10 - \sqrt{68}\,}\;\cdot\;\sqrt[5]{\,10 + \sqrt{68}\,} \;+\;\sqrt[4]{125}\;\cdot\;\sqrt[4]{5} \;+\;(-2\cdot\sqrt{2})^{7} \] Решение:
   • Первое слагаемое: \[ \sqrt[5]{(10 - \sqrt{68})(10 + \sqrt{68})} = \sqrt[5]{100 - 68} = \sqrt[5]{32} = 2 \]
   • Второе слагаемое: \[ \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625} = 5 \]
   • Третье слагаемое: \[ (-2\sqrt{2})^7 = -(2\sqrt{2})^7 = -2^7 \cdot (\sqrt{2})^7 = -128 \cdot 8\sqrt{2} = -1024\sqrt{2} \] Итог: \[ 2 + 5 - 1024\sqrt{2} = 7 - 1024\sqrt{2} \]
   Ответ: \(7 - 1024\sqrt{2}\).
   
   
2. Вычислите: \[ \bigl(\tfrac{1}{25}\bigr)^{-\tfrac12}\;\cdot\;7^{-1} \;-\;\bigl(\tfrac{1}{8}\bigr)^{-\tfrac13}\;\cdot\;2^{-3} \;,\quad 49^{-\tfrac12} \] Решение:
   • Первое выражение: \[ \left(\frac{1}{25}\right)^{-1/2} = 25^{1/2} = 5,\quad 7^{-1} = \frac{1}{7} \] \[ \left(\frac{1}{8}\right)^{-1/3} = 8^{1/3} = 2,\quad 2^{-3} = \frac{1}{8} \] \[ 5 \cdot \frac{1}{7} - 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{7} - \frac{1}{4} = \frac{20 - 7}{28} = \frac{13}{28} \]
   • Второе выражение: \[ 49^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7} \]
   Ответы: \(\frac{13}{28}\) и \(\frac{1}{7}\).
   
   
3. Вычислите: \[ 49^{0.5\bigl(\log_{7}9 - \log_{7}6\bigr)} \;-\;16\cdot 5^{-\log_{\sqrt{5}}4} \] Решение:
   • Первое слагаемое: \[ 49^{0.5(\log_{7} \frac{9}{6})} = 7^{2 \cdot 0.5 \cdot \log_{7} \frac{3}{2}} = 7^{\log_{7} \frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \]
   • Второе слагаемое: \[ 5^{-\log_{\sqrt{5}}4} = 5^{-2\log_{5}4} = (5^{\log_{5}4})^{-2} = 4^{-2} = \frac{1}{16} \] \[ 16 \cdot \frac{1}{16} = 1 \]
   Итог: \[ \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \] Ответ: \(0,5\).
   
   
4. Решите уравнение: \[ 25^{\,x+0.5} \;-\; 10\cdot 5^{\,x-1} \;-\; 3 = 0 \] Решение: \[ 25^{x+0.5} = 5^{2x + 1},\quad 10 \cdot 5^{x-1} = 2 \cdot 5^x \] \[ 5^{2x + 1} - 2 \cdot 5^x - 3 = 0,\quad \text{замена } y = 5^x \] \[ 5y^2 - 2y - 3 = 0 \Rightarrow y = 1 \text{ (корень)} \] \[ 5^x = 1 \Rightarrow x = 0 \] Ответ: \(0\).
   
   
5. Решите уравнение: \[ \log_{4} x^{2} \;+\; 12\,\log_{x} 4 \;=\; 10 \] Решение: \[ \log_4 x^2 = 2\log_4 |x|,\quad \log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x} \] \[ 2\log_4 |x| + \frac{12}{\log_4 |x|} = 10,\quad \text{замена } t = \log_4 |x| \] \[ 2t + \frac{12}{t} = 10 \Rightarrow 2t^2 - 10t + 12 = 0 \Rightarrow t = 2,\ t = 3 \] \[ \log_4 |x| = 2 \Rightarrow x = 16,\quad \log_4 |x| = 3 \Rightarrow x = 64 \] Ответ: \(16;\ 64\).
   
   
6. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{16 - x^2}\;\cdot\;\log_{x+3}\bigl(2x^2 - 3x - 5\bigr) \] Решение:
   • \(16 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-4, 4]\)
   • Основание логарифма: \(x + 3 > 0,\ x + 3 \neq 1 \Rightarrow x > -3,\ x \neq -2\)
   • Аргумент логарифма: \[ 2x^2 - 3x - 5 > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{5}{2}, +\infty) \] Пересечение: \[ x \in (-3, -1) \cup (\frac{5}{2}, 4] \]
   Ответ: \(x \in (-3, -1) \cup (\frac{5}{2}, 4]\).
   
   
7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 17 см, стороны основания 9 см и 12 см. Найдите высоту параллелепипеда. \[ d^2 = a^2 + b^2 + c^2 \Rightarrow 17^2 = 9^2 + 12^2 + h^2 \] \[ 289 = 81 + 144 + h^2 \Rightarrow h^2 = 64 \Rightarrow h = 8\ \text{см} \] Ответ: 8 см.