8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Горчаковский лицей из 10 в 11 класс 2019 год демоверсия

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Печать
youit.school ©

ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ


2019 год


Демонстрационный вариант



  1. Найдите значение выражения:
    1. $36^{\log_{6}5} + 10^{1 - \lg 2} - 8^{\log_{2}3}.$
    2. $\sin 2\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{3}{5}$, $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$.


  2. Упростите выражение:
    1. $\displaystyle \frac{\frac{1}{a^{1/3}} - \frac{1}{b^{1/3}}} {\frac{a b^{1/3} - a^{1/3} b} {\sqrt[3]{ab}\,\bigl(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\bigr)}}.$
    2. $\displaystyle \sin(\alpha+\beta) + \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr)\,\sin(-\beta).$


  3. Решите следующие уравнения:
    1. $\sqrt{6 + x - x^2} = 1 - x.$
    2. $8\cdot 4^x - 6\cdot 2^x + 1 = 0.$
    3. $\sin^2 x = \frac{1}{4}.$


  4. Решите графически следующие неравенства:
    1. $\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^x \ge x + 1.$
    2. $\sqrt{x} \le x^2.$
    3. $\log_2(x - 1) < 2 - x.$


  5. Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?
  6. В прямой треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ отметили следующие точки: $K$ — середина ребра $AC$, $M$ — середина ребра $BC$ и $P$ — точка на ребре $C_1B_1$, причём $C_1P:PB_1 = 2:1$.
    a) Постройте сечение, проходящее через точки $K$, $M$ и $P$.
    б) Определите, сколько вершин, рёбер и граней у отсе­ченного много­гранника с меньшим чис­лом граней.

  7. Укажите среди ниже­перечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет (ответ необходимо обосновать):
    1. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то средняя линия этой трапеции равна боковой стороне.
    2. Если в четырёхугольнике два противоположных угла прямые, то он является прямоугольником.
    3. Сечением куба может быть пятиугольник.
    4. Если две прямые пространства перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.


  8. Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 33, все цифры которого нечётны и различны. Достаточно найти какое‑нибудь одно такое число.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Найдите значение выражения:
      $36^{\log_{6}5} + 10^{1 - \lg 2} - 8^{\log_{2}3}$
      Решение:
      $36^{\log_{6}5} = (6^2)^{\log_{6}5} = 6^{2 \log_{6}5} = (6^{\log_{6}5})^2 = 5^2 = 25$
      $10^{1 - \lg 2} = 10^1 \cdot 10^{-\lg 2} = 10 \cdot (10^{\lg 2})^{-1} = 10 \cdot 2^{-1} = 5$
      $8^{\log_{2}3} = (2^3)^{\log_{2}3} = 2^{3 \log_{2}3} = (2^{\log_{2}3})^3 = 3^3 = 27$
      $25 + 5 - 27 = 3$
      Ответ: $\boxed{3}$
    2. Найдите $\sin 2\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{3}{5}$, $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$
      Решение:
      $\alpha$ в IV четверти $\Rightarrow \sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\frac{4}{5}$
      $\sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{3}{5} = -\frac{24}{25}$
      Ответ: $\boxed{-\dfrac{24}{25}}$
    1. Упростите выражение: $\displaystyle\frac{\frac{1}{a^{1/3}} - \frac{1}{b^{1/3}}} {\frac{a b^{1/3} - a^{1/3} b} {\sqrt[3]{ab}\,\bigl(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\bigr)}}$
      Решение:
      Пусть $x = \sqrt[3]{a}$, $y = \sqrt[3]{b}$:
      $\displaystyle\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{x^3 \cdot y - x \cdot y^3}{xy \cdot (x+y)}} = \frac{\frac{y - x}{xy}}{\frac{xy(y^2 - x^2)}{xy(x+y)}} = \frac{y - x}{xy} \cdot \frac{xy(x + y)}{xy(y - x)(y + x)} = \frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$
      Ответ: $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt[3]{ab}}}$
    2. Упростите выражение: $\displaystyle\sin(\alpha+\beta)+ \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\bigr)\,\sin(-\beta)$
      Решение:
      $\sin(\alpha+\beta) + \cos\alpha \cdot (-\sin\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \cos\alpha \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta$
      Ответ: $\boxed{\sin\alpha \cos\beta}$
  3. Решите уравнения:
    1. $\sqrt{6 + x - x^2} = 1 - x$
      Решение:
      ОДЗ: $6 + x - x^2 \ge 0$, $1 - x \ge 0$
      Возводим в квадрат:
      $6 + x - x^2 = (1 - x)^2 \Rightarrow 6 + x - x^2 = 1 - 2x + x^2 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 5 = 0$
      $D = 9 + 40 = 49$, $x = \frac{3 \pm 7}{4} \Rightarrow x_1 = 2.5$ (не входит в ОДЗ), $x_2 = -1$
      Ответ: $\boxed{-1}$
    2. $8\cdot 4^x - 6\cdot 2^x + 1 = 0$
      Решение:
      Замена $t = 2^x$:
      $8t^2 - 6t + 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{16} \Rightarrow t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = \frac{1}{4}$
      Обратная замена:
      $2^x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -1$; $2^x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = -2$
      Ответ: $\boxed{-2}, \boxed{-1}$
    3. $\sin^2 x = \frac{1}{4}$
      Решение:
      $\sin x = \pm \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$
      Ответ: $x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = \dfrac{5\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$
  4. Графическое решение неравенств:
    1. $\left(\frac{1}{3}\right)^x \ge x + 1$
      Решение: Единственная точка пересечения при $x = 0$, решением является $x \le 0$
      Ответ: $\boxed{(-\infty; 0]}$
    2. $\sqrt{x} \le x^2$
      Решение: Пересечение графиков происходит при $x = 0$ и $x = 1$. Решение: $x \in \{0\} \cup [1; +\infty)$
      Ответ: $\boxed{0} \cup \boxed{[1; +\infty)}$
    3. $\log_2(x - 1) < 2 - x$
      Решение: Графики пересекаются при $x = 2$. Решением является $1 < x < 2$
      Ответ: $\boxed{(1; 2)}$
  5. Задача на сухофрукты:
    Решение:
    Сухое вещество в свежих фруктах: $288 \cdot 0,21 = 60,48$ кг
    Масса сухих фруктов: $\frac{60,48}{0,84} = 72$ кг
    Ответ: $\boxed{72}$
  6. Геометрическая задача:
    1. Сечение построено соединением точек K, M, P
    2. Многогранник имеет 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней
      Ответ: $\boxed{8}, \boxed{12}, \boxed{6}$
  7. Проверка утверждений:
    1. Верно $\boxed{А}$
      Обоснование: В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью периметр средняя линия равна боковой стороне.
    2. Неверно $\boxed{Б}$
      Обоснование: Достаточно примера прямоугольной трапеции с двумя прямыми углами.
    3. Верно $\boxed{В}$
      Обоснование: Пятиугольное сечение возможно через пять граней куба.
    4. Неверно $\boxed{Г}$
      Обоснование: Прямые могут быть скрещивающимися.
  8. Четырёхзначное число:
    Пример числа: 7359 (9+5=14, 7+3=10; сумма 24 делится на 3; разность 14-10=4 не делится на 11? Возможно ошибка в расчёте. Однако 7359 действительно делится на 33: $7359 ÷ 33 = 223$.)
    Ответ: $\boxed{7359}$
Материалы школы Юайти