Горчаковский лицей из 10 в 11 класс 2017 год демоверсия 2

ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ

2017 год

Демонстрационный вариант 2

1. Упростите выражение: \[ \frac{2\,(1 - \cos\alpha)\,\cdot\,(1 + \cos\alpha)}{\sin 2\alpha} \]
2. Найдите: \[ \sin\alpha,\quad \sin2\alpha,\quad \cos2\alpha,\quad \tg\alpha,\quad \tg2\alpha, \] зная, что \[ \cos\alpha = \frac{12}{13},\qquad \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi. \]
3. Решите уравнение: \[ 2\cos^2 x \;-\;\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+x\Bigr)\;=\;1 \]
4. Решите неравенство: \[ \sin\frac{x}{2}\;\cdot\;\cos\frac{x}{2}\;\le\;-\frac{\sqrt{3}}{4} \]
5. Исследуйте функцию \[ y = x^4 - 4x^3 + 9 \] на возрастание, убывание, экстремумы и постройте график этой функции.
6. Решите задачу:
   
   В правильной треугольной пирамиде боковые рёбра равны \(10\) см, стороны основания — \(6\sqrt{3}\) см. Найдите высоту пирамиды.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{2\,(1 - \cos\alpha)\,\cdot\,(1 + \cos\alpha)}{\sin 2\alpha} \] Решение: \[ \frac{2(1 - \cos^2\alpha)}{\sin 2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha \] Ответ: \( \tg\alpha \).
   
   
2. Найдите: \[ \sin\alpha,\quad \sin2\alpha,\quad \cos2\alpha,\quad \tg\alpha,\quad \tg2\alpha, \] зная, что \[ \cos\alpha = \frac{12}{13},\qquad \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi. \] Решение: \[ \sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = -\frac{5}{13} \] \[ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{120}{169} \] \[ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \cdot \left(\frac{12}{13}\right)^2 - 1 = \frac{119}{169} \] \[ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{5}{12} \] \[ \tg2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{-120/169}{119/169} = -\frac{120}{119} \] Ответ: \( \sin\alpha = -\frac{5}{13},\ \sin2\alpha = -\frac{120}{169},\ \cos2\alpha = \frac{119}{169},\ \tg\alpha = -\frac{5}{12},\ \tg2\alpha = -\frac{120}{119} \).
   
   
3. Решите уравнение: \[ 2\cos^2 x \;-\;\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+x\Bigr)\;=\;1 \] Решение: \[ 2\cos^2 x + \sin x = 1 \quad (\cos(\frac{\pi}{2}+x) = -\sin x) \] \[ 2(1 - \sin^2 x) + \sin x = 1 \] \[ 2 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \Rightarrow -2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0 \] \( \sin x = 1 \) или \( \sin x = -\frac{1}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \quad (n,k \in \mathbb{Z}) \] Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \).
   
   
4. Решите неравенство: \[ \sin\frac{x}{2}\;\cdot\;\cos\frac{x}{2}\;\le\;-\frac{\sqrt{3}}{4} \] Решение: \[ \frac{1}{2}\sin x \le -\frac{\sqrt{3}}{4} \quad (\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x) \] \[ \sin x \le -\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ x \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\right] \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Ответ: \( x \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\right],\ k \in \mathbb{Z} \).
   
   
5. Исследуйте функцию \[ y = x^4 - 4x^3 + 9 \] на возрастание, убывание, экстремумы и постройте график этой функции. Решение: \[ y' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) \] Критические точки: \( x = 0 \) (точка перегиба), \( x = 3 \) (минимум).
   • Функция убывает при \( x \in (-\infty; 3) \)
   • Возрастает при \( x \in (3; +\infty) \)
   • Локальный минимум в точке \( x = 3 \): \( y(3) = 3^4 - 4\cdot 3^3 + 9 = -18 \)
   График имеет вид «чаши» с минимумом в точке \( (3; -18) \). Ответ: Убывает на \( (-\infty; 3) \), возрастает на \( (3; +\infty) \), минимум \( (3; -18) \).
   
   
6. Решите задачу:
   
   В правильной треугольной пирамиде боковые рёбра равны \(10\) см, стороны основания — \(6\sqrt{3}\) см. Найдите высоту пирамиды. Решение: Центр основания равностороннего треугольника находится на расстоянии: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 см \] По теореме Пифагора: \[ H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8 см \] Ответ: 8 см.