Горчаковский лицей из 10 в 11 класс 2017 год демоверсия 1

ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ

2017 год

Демонстрационный вариант 1

1. Вычислите: \[ \sqrt[5]{10 - \sqrt{68}}\;\cdot\;\sqrt[5]{10 + \sqrt{68}} \;+\; \bigl(\sqrt[4]{125}\bigr)\,\bigl(\sqrt[4]{5}\bigr) \;+\; \bigl(-2\sqrt{2}\bigr)^{7}. \]
2. Вычислите: \[ \bigl(\,(25^{-1})^{-\tfrac12}\,\cdot\,7^{-1}\;-\;(8^{-1})^{-\tfrac13}\,\cdot\,2^{-3}\bigr) \;\mathbin{:}\; 49^{-\tfrac12}. \]
3. Вычислите: \[ 49^{0.5\bigl(\log_{7}9 - \log_{7}6\bigr)} \;-\; 16 \cdot 5^{-\log_{\sqrt{5}}4}. \]
4. Решите уравнение \[ 25^{\,x+0.5} \;-\; 10 \cdot 5^{\,x-1} \;-\; 3 \;=\; 0. \]
5. Решите уравнение \[ \log_{4} x^{2} \;+\; 12\,\log_{x} 4 \;=\; 10. \]
6. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{16 - x^2}\;\cdot\;\log_{\,x+3}\!\bigl(2x^2 - 3x - 5\bigr). \]

Решения задач

1. Вычислите: \[ \sqrt[5]{10 - \sqrt{68}}\;\cdot\;\sqrt[5]{10 + \sqrt{68}} \;+\; \bigl(\sqrt[4]{125}\bigr)\,\bigl(\sqrt[4]{5}\bigr) \;+\; \bigl(-2\sqrt{2}\bigr)^{7}. \] Решение:
   Первое слагаемое: \[ \sqrt[5]{(10 - \sqrt{68})(10 + \sqrt{68})} = \sqrt[5]{100 - 68} = \sqrt[5]{32} = 2 \] Второе слагаемое: \[ \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625} = 5 \] Третье слагаемое: \[ (-2\sqrt{2})^7 = -1024\sqrt{2} \] Итог: \[ 2 + 5 - 1024\sqrt{2} = 7 - 1024\sqrt{2} \] Ответ: \(7 - 1024\sqrt{2}\).
   
   
2. Вычислите: \[ \bigl(\,(25^{-1})^{-\tfrac12}\,\cdot\,7^{-1}\;-\;(8^{-1})^{-\tfrac13}\,\cdot\,2^{-3}\bigr) \;\mathbin{:}\; 49^{-\tfrac12}. \] Решение:
   Преобразуем компоненты: \[ (25^{-1})^{-\tfrac12} = 5,\quad (8^{-1})^{-\tfrac13} = 2,\quad 49^{-\tfrac12} = \frac{1}{7} \] Упрощаем выражение: \[ \left( \frac{5}{7} - \frac{1}{4} \right) : \frac{1}{7} = \frac{13}{28} \cdot 7 = \frac{13}{4} \] Ответ: \(\frac{13}{4}\).
   
   
3. Вычислите: \[ 49^{0.5\bigl(\log_{7}9 - \log_{7}6\bigr)} \;-\; 16 \cdot 5^{-\log_{\sqrt{5}}4}. \] Решение:
   Первое слагаемое: \[ 49^{\log_7 \frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \] Второе слагаемое: \[ 5^{-\log_{\sqrt{5}}4} = \frac{1}{16} \quad \Rightarrow \quad 16 \cdot \frac{1}{16} = 1 \] Итог: \[ \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \] Ответ: 0,5.
   
   
4. Решите уравнение: \[ 25^{\,x+0.5} \;-\; 10 \cdot 5^{\,x-1} \;-\; 3 \;=\; 0. \] Решение:
   Замена \(t = 5^x\): \[ 5t^2 - 2t - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] Ответ: 0.
   
   
5. Решите уравнение: \[ \log_{4} x^{2} \;+\; 12\,\log_{x} 4 \;=\; 10. \] Решение:
   Замена \(t = \log_4 x\): \[ 2t + \frac{12}{t} = 10 \quad \Rightarrow \quad t = 2, \ t = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 16, \ x = 64 \] Ответ: 16; 64.
   
   
6. Найдите область определения функции: \[ y = \sqrt{16 - x^2}\;\cdot\;\log_{\,x+3}\!\bigl(2x^2 - 3x - 5\bigr). \] Решение:
   Условия определения:
   1. \(16 - x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [-4; 4]\),
   2. \(x + 3 > 0,\ x + 3 \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x > -3,\ x \neq -2\),
   3. \(2x^2 - 3x - 5 > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -1) \cup (2,5; +\infty)\).
   Пересечение решений: \[ x \in [-3; -2) \cup (-2; -1) \cup (2,5; 4] \] Ответ: \(x \in [-3; -2) \cup (-2; -1) \cup (2,5; 4]\).