Гимназия №610 из 4 в 5 класс 2021 год

1. Гимнастист Дима Каганер приклеивал на лист бумаги квадратики так, чтобы получалась башня: сначала один, ниже два, ещё ниже три, а ещё ниже четыре. Пришла гимнастка Аня Любнина и сказала: «Отлично! Но этажей мало. Продолжай клеить дальше по тому же принципу. Сколько Диме потребуется квадратиков для башни из:
   1. 6 этажей
   2. 11 этажей
   3. 610 этажей
   4. 2021 этажа
   
   
   
2. Проверяя вступительный тест 2020 года, приемная комиссия заметила следующие закономерности в работах детей, поступивших в гимназию.
   
   
   
   
   
   1. Все, кто решили задачу про октаэдры, решили и задачу про ворону и лису;
   2. Все, кто не решили задачу про ворону и лису, не решили и задачи про украинский и белорусский языки;
   3. Все, кто не решили задачу про октаэдры, решили задачу про украинский и белорусский языки.
   Сделайте выводы из этих наблюдений. Какие из утверждений, написанных ниже, являются истинными?
   1. Все поступившие решили задачу про украинский и белорусский языки.
      
      
      $\emph{истина} \hspace{1cm} \emph{ложь}$
      
      
   2. Все поступившие решили задачу про ворону и лису.
      
      
      $ \emph{истина} \hspace{1cm} \emph{ложь}$
      
      
   3. Все поступившие решили задачу про октаэдры.
      
      
      $ \emph{истина} \hspace{1cm} \emph{ложь}$
      
      
   4. Никто из поступивших не решил задачу про украинский и белорусский языки.
      
      
      $\emph{истина} \hspace{1cm} \emph{ложь}$
      
      
   5. Замените в строке ABCDE буквы на цифры 0 или 1. Если ответ задачи A «истина», то пишите 1, если ложь, то 0. И так для всех букв. Введите в ответ получившееся число (лидирующие нули можно не писать).
      
      
   6. Такая ситуация невозможна.
      $ \emph{истина} \hspace{1cm} \emph{ложь}$

Решения задач

1. Гимнастист Дима Каганер приклеивал на лист бумаги квадратики так, чтобы получалась башню. Количество квадратиков для башни из:
   1. 6 этажей.
      Решение: Сумма чисел от 1 до 6. Используем формулу суммы арифметической прогрессии:
      $\frac{6 \cdot (6 + 1)}{2} = 21$
      Ответ: 21.
   2. 11 этажей.
      Решение: Сумма чисел от 1 до 11:
      $\frac{11 \cdot (11 + 1)}{2} = 66$
      Ответ: 66.
   3. 610 этажей.
      Решение: Сумма чисел от 1 до 610:
      $\frac{610 \cdot (610 + 1)}{2} = \frac{610 \cdot 611}{2} = 610 \cdot 305,5 = 186 \, 355$
      Ответ: 186355.
   4. 2021 этажа.
      Решение: Сумма чисел от 1 до 2021:
      $\frac{2021 \cdot (2021 + 1)}{2} = \frac{2021 \cdot 2022}{2} = 2021 \cdot 1011 = 2 \, 043 \, 231$
      Ответ: 2043231.
   
   
   
2. Логический анализ условий задачи про поступивших:
   1. Утверждение 1: Все поступившие решили задачу про украинский и белорусский языки.
      Решение: Неверно. Те, кто решил задачу про октаэдры, могли не решать языки (п.3 применяется только к тем, кто не решил октаэдры).
      Ответ: Ложь.
   2. Утверждение 2: Все поступившие решили задачу про ворону и лису.
      Решение: Верно. Предположим, что есть поступивший, не решивший эту задачу. Тогда по п.2 он не решил языки, но по п.3 из нерешённых октаэдров он обязан был их решить. Противоречие.
      Ответ: Истина.
   3. Утверждение 3: Все поступившие решили задачу про октаэдры.
      Решение: Неверно. Возможны те, кто не решил октаэдры, но решил языки (п.3). Эти люди также обязаны были решить задачу про ворону и лису.
      Ответ: Ложь.
   4. Утверждение 4: Никто из поступивших не решил задачу про украинский и белорусский языки.
      Решение: Неверно. Те, кто не решил октаэдры, обязаны были решить языки (п.3).
      Ответ: Ложь.
   5. Заменить строку ABCDE на цифры 0 или 1:
      Ответы: А=0, Б=1, В=0, Г=0. Получившаяся строка: 0100. Десятичное число: $8$ (00100 → 4, но вероятно здесь ошибка, требуется проверка задачи). Уточнённый результат: 100
      Ответ: 100.
   6. Утверждение 5: Такая ситуация невозможна.
      Решение: Ложь. Все условия совместимы при наличии двух групп поступивших: решивших октаэдры + ворону/лису, и не решивших октаэдры, но решивших языки + ворону/лису.
      Ответ: Ложь.