Мы всегда на связи
Пишите в любое удобное время:
Или задайте вопрос через форму:
Мы всегда на связи
Заявка принята!
Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).
Спасибо!
Мы свяжемся с вами в ближайшее время.
ГБОУ Школа № 1533 «ЛИТ» из 8 в 9 класс 2026 вариант 1
Задания вступительного экзамена
Печать
youit.school ©
- Вычислите: \[ \sqrt{\,2+\sqrt{\frac{68\left(32^2-15^2\right)}{47}}\,}. \]
- Упростите выражение и найдите его значение при \(a=0{,}12345\): \[ \frac{4}{1-a} - \left(\frac{2a+2}{3-a}\right)^2 \cdot \left( \frac{a+9}{a^2+2a+1} + \frac{2a}{1-a^2} \right). \]
- Решите уравнение: \[ x^2-x^4+30=0. \]
- Лицеисты собрались в водный поход по реке Москве до Коломны, расстояние между пунктом отправления в Москве и Коломной по реке \(80\) км. Лицеисты-экстремалы отправились первыми на плоту, а через \(2\) часа вслед за ними отправились лицеисты, любящие комфортный отдых, на яхте, которая, прибыв в Коломну, тотчас повернула обратно и вернулась в Москву. К этому времени лицеисты на плоту прошли \(22\) км. Найдите скорость яхты, на которой путешествовали любители комфорта, в неподвижной воде, если скорость течения реки равна \(2\) км/ч.
- В классе \(28\) человек, среди которых Ваня и Саша. Их случайным образом разбивают на \(4\) равные группы. Найти вероятность, что Ваня и Саша окажутся в разных группах.
- Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении \(4:7\), считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен \(90\).
- В ромбе \(ABCD\) диагонали равны \(5\) и \(12\). На диагонали \(AC\) взята точка \(M\) так, что \[ AM:MC=4:1. \] Найдите площадь треугольника \(AMD\).
- Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[ ax^2-x+a=0 \] имеет ровно \(1\) корень.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
- Задача. Вычислите:
\[
\sqrt{\,2+\sqrt{\frac{68\left(32^2-15^2\right)}{47}}\,}.
\]
Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов: \[ 32^2-15^2=(32-15)(32+15) \] \[ (32-15)(32+15)=17\cdot47 \] Подставим полученный результат во внутренний корень: \[ \frac{68\left(32^2-15^2\right)}{47}=\frac{68\cdot17\cdot47}{47} \] \[ \frac{68\cdot17\cdot47}{47}=68\cdot17 \] \[ 68\cdot17=1156 \] Тогда \[ \sqrt{1156}=34 \] Найдём значение всего выражения: \[ \sqrt{2+34}=\sqrt{36} \] \[ \sqrt{36}=6 \]
Ответ. \(6\). - Задача. Упростите выражение и найдите его значение при \(a=0{,}12345\):
\[
\frac{4}{1-a}
-
\left(\frac{2a+2}{3-a}\right)^2
\cdot
\left(
\frac{a+9}{a^2+2a+1}
+
\frac{2a}{1-a^2}
\right).
\]
Решение. Выражение имеет смысл при условиях \[ a\ne 1 \] \[ a\ne -1 \] \[ a\ne 3 \] Разложим знаменатели на множители: \[ a^2+2a+1=(a+1)^2 \] \[ 1-a^2=(1-a)(1+a) \] Приведём дроби в скобках к общему знаменателю: \[ \frac{a+9}{(a+1)^2}+\frac{2a}{(1-a)(a+1)} = \frac{(a+9)(1-a)+2a(a+1)}{(a+1)^2(1-a)} \] Упростим числитель: \[ (a+9)(1-a)+2a(a+1)=a^2-6a+9 \] \[ a^2-6a+9=(a-3)^2 \] Значит, \[ \frac{a+9}{(a+1)^2}+\frac{2a}{(1-a)(a+1)} = \frac{(a-3)^2}{(a+1)^2(1-a)} \] Кроме того, \[ 2a+2=2(a+1) \] Поэтому произведение равно \[ \left(\frac{2(a+1)}{3-a}\right)^2 \cdot \frac{(a-3)^2}{(a+1)^2(1-a)} = \frac{4}{1-a} \] Тогда всё выражение равно \[ \frac{4}{1-a}-\frac{4}{1-a}=0 \] Значение \(a=0{,}12345\) допустимо, поэтому значение выражения тоже равно \(0\).
Ответ. Упрощённое выражение равно \(0\). При \(a=0{,}12345\) его значение равно \(0\). - Задача. Решите уравнение:
\[
x^2-x^4+30=0.
\]
Решение. Умножим обе части уравнения на \(-1\): \[ x^4-x^2-30=0 \] Введём замену: \[ t=x^2 \] Тогда получаем квадратное уравнение: \[ t^2-t-30=0 \] Разложим левую часть на множители: \[ (t-6)(t+5)=0 \] Следовательно, \[ t=6 \] или \[ t=-5 \] Так как \[ t=x^2 \] не может быть отрицательным, значение \(t=-5\) не подходит. Остаётся: \[ x^2=6 \] \[ x=\sqrt{6} \] или \[ x=-\sqrt{6} \]
Ответ. \(-\sqrt{6}\), \(\sqrt{6}\). - Задача. Расстояние по реке от Москвы до Коломны равно \(80\) км. Плот отправился первым, а через \(2\) часа вслед за ним вышла яхта. Яхта дошла до Коломны, сразу повернула обратно и вернулась в Москву. К этому времени плот прошёл \(22\) км. Скорость течения равна \(2\) км/ч. Найдите собственную скорость яхты.
Решение. Плот движется со скоростью течения, то есть со скоростью \(2\) км/ч. Время движения плота равно: \[ 22:2=11 \] ч.
Яхта отправилась на \(2\) часа позже, поэтому она была в пути: \[ 11-2=9 \] ч.
Пусть собственная скорость яхты равна \(v\) км/ч. Тогда её скорость по течению равна \[ v+2 \] км/ч, а против течения: \[ v-2 \] км/ч.
Составим уравнение по времени движения: \[ \frac{80}{v+2}+\frac{80}{v-2}=9 \] Умножим обе части на \((v+2)(v-2)\): \[ 80(v-2)+80(v+2)=9(v^2-4) \] \[ 160v=9v^2-36 \] \[ 9v^2-160v-36=0 \] Найдём дискриминант: \[ D=(-160)^2-4\cdot9\cdot(-36) \] \[ D=26896 \] \[ \sqrt{D}=164 \] Тогда \[ v=\frac{160\pm164}{18} \] Получаем: \[ v_1=18 \] \[ v_2=-\frac{2}{9} \] Скорость не может быть отрицательной, поэтому подходит только первое значение.
Ответ. \(18\) км/ч. - Задача. В классе \(28\) человек, среди которых Ваня и Саша. Учеников случайным образом разбивают на \(4\) равные группы. Найдите вероятность того, что Ваня и Саша окажутся в разных группах.
Решение. В каждой группе будет: \[ 28:4=7 \] человек.
Предположим, что Ваню уже поместили в одну из групп. После этого остаётся \(27\) свободных мест. В группе Вани остаётся: \[ 7-1=6 \] мест.
В трёх остальных группах находится: \[ 27-6=21 \] место.
Чтобы Ваня и Саша оказались в разных группах, Саша должен занять одно из этих \(21\) мест. Поэтому искомая вероятность равна: \[ \frac{21}{27} \] Сократим дробь: \[ \frac{21}{27}=\frac{7}{9} \]
Ответ. \(\frac{7}{9}\). - Задача. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении \(4:7\), считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен \(90\).
Решение. Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, угол \(B\) тупой, а его биссектриса пересекает противоположную сторону \(AD\) в точке \(E\). Точка \(A\) является вершиной острого угла, поэтому: \[ AE:ED=4:7 \]
Так как \(BE\) – биссектриса угла \(B\), то \[ \angle ABE=\angle EBC \] Поскольку \[ AD\parallel BC, \] получаем: \[ \angle EBC=\angle BEA \] Следовательно, \[ \angle ABE=\angle BEA \] Значит, треугольник \(ABE\) равнобедренный: \[ AB=AE \]
Пусть одна часть отношения равна \(x\). Тогда: \[ AE=4x \] \[ ED=7x \] Следовательно, \[ AB=4x \] \[ AD=AE+ED \] \[ AD=11x \] Периметр параллелограмма равен: \[ 2(AB+AD)=90 \] \[ 2(4x+11x)=90 \] \[ 30x=90 \] \[ x=3 \] Большая сторона равна: \[ AD=11\cdot3 \] \[ AD=33 \]
Ответ. \(33\). - Задача. В ромбе \(ABCD\) диагонали равны \(5\) и \(12\). На диагонали \(AC\) взята точка \(M\) так, что
\[
AM:MC=4:1.
\]
Найдите площадь треугольника \(AMD\).
Решение. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[ S_{ABCD}=\frac{5\cdot12}{2} \] \[ S_{ABCD}=30 \] Диагональ \(AC\) делит ромб на два равновеликих треугольника. Поэтому: \[ S_{ACD}=30:2 \] \[ S_{ACD}=15 \] Из отношения \[ AM:MC=4:1 \] следует, что отрезок \(AM\) составляет \(\frac{4}{5}\) диагонали \(AC\): \[ \frac{AM}{AC}=\frac{4}{5} \] Треугольники \(AMD\) и \(ACD\) имеют общую высоту, опущенную из точки \(D\) на прямую \(AC\). Поэтому их площади относятся как основания: \[ S_{AMD}=S_{ACD}\cdot\frac{AM}{AC} \] \[ S_{AMD}=15\cdot\frac{4}{5} \] \[ S_{AMD}=12 \]
Ответ. \(12\). - Задача. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение
\[
ax^2-x+a=0
\]
имеет ровно один корень.
Решение. Сначала рассмотрим случай: \[ a=0 \] Тогда уравнение становится линейным: \[ -x=0 \] \[ x=0 \] В этом случае уравнение имеет ровно один корень, поэтому значение \(a=0\) подходит.
Теперь рассмотрим случай: \[ a\ne 0 \] Тогда уравнение является квадратным. Оно имеет ровно один действительный корень, если его дискриминант равен нулю: \[ D=(-1)^2-4a\cdot a \] \[ D=1-4a^2 \] Приравняем дискриминант к нулю: \[ 1-4a^2=0 \] \[ 4a^2=1 \] \[ a^2=\frac{1}{4} \] Следовательно, \[ a=\frac{1}{2} \] или \[ a=-\frac{1}{2} \]
Ответ. \(-\frac{1}{2}\), \(0\), \(\frac{1}{2}\).
Материалы школы Юайти
Записаться на подготовку к поступлению в школу
1. Консультация с менеджером
Менеджер уточняет, в какую школу и в какой класс поступает ребёнок, и подбирает формат подготовки.
2. Тестирование с методистом
Методист определяет уровень, находит пробелы и оценивает готовность к нужному курсу.
3. Индивидуальный учебный план
Вы получаете понятные рекомендации: с чего начать, как двигаться дальше и к какому результату придём.
Записаться на подготовку к поступлению в школу
Заявка принята!
Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).
Спасибо!
Мы свяжемся с вами в ближайшее время.