ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2025

1. Вычислите без калькулятора: \[ \Bigl(6\tfrac{7}{12} - 3\tfrac{17}{36}\Bigr)\;\cdot\;2{,}5 \;-\; 4\tfrac{1}{3}\;\cdot\;\tfrac{20}{13}. \]
   
   
2. При проверке содержание воды по массе в зерне оказалось равным $25\%$. 200 кг этого зерна просушили, после чего оно потеряло в массе 20 кг. Определите содержание воды в зерне после просушки.
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a=2024\) и \(b=2025\): \[ \Bigl(\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a}\Bigr) \;\cdot\; \frac{a + b}{2b}. \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x + y - 2z = 3,\\ 2x + 3y + z = 10,\\ 3x - 2y + 3z = 13. \end{cases} \]
   
   
5. В корзине грибника лежат три сорта грибов: белые, лисички и опята. По массе белых грибов в 2 раза меньше, чем лисичек, а опят на 1 кг больше, чем белых и лисичек вместе. Найдите массу каждого сорта грибов, если их общая масса равна 7 кг.
   
   
6. Первую часть пути машина проехала со скоростью \(v\), вторую часть — со скоростью \(v/3\). В результате средняя скорость машины за весь путь оказалась равна \(v/2\). Во сколько раз вторая часть пути длиннее первой?
   
   
7. Автомобиль выехал из \(A\), и одновременно из \(C\) вышел пешеход. Автомобиль встретил пешехода, довёз его до \(A\) и поехал обратно в \(C\), затратив на весь путь \(2\) ч 40 мин. За какое время расстояние \(AC\) проходит пешеход, если автомобилю на это требуется 1 ч?
   
   

Решения задач

1. Вычислите без калькулятора: \[ \Bigl(6\tfrac{7}{12} - 3\tfrac{17}{36}\Bigr)\;\cdot\;2{,}5 \;-\; 4\tfrac{1}{3}\;\cdot\;\tfrac{20}{13}. \]
   Решение: Сначала преобразуем смешанные дроби: \[ 6\tfrac{7}{12} = \frac{6 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{79}{12}, \quad 3\tfrac{17}{36} = \frac{3 \cdot 36 + 17}{36} = \frac{125}{36}, \] \[ 4\tfrac{1}{3} = \frac{13}{3}. \] Вычислим разность: \[ \frac{79}{12} - \frac{125}{36} = \frac{237 - 125}{36} = \frac{112}{36} = \frac{28}{9}. \] Умножим на 2,5: \[ \frac{28}{9} \cdot \frac{5}{2} = \frac{140}{18} = \frac{70}{9}. \] Теперь вычислим второе произведение: \[ \frac{13}{3} \cdot \frac{20}{13} = \frac{20}{3}. \] Итоговый результат: \[ \frac{70}{9} - \frac{20}{3} = \frac{70 - 60}{9} = \frac{10}{9} = 1\tfrac{1}{9}. \] Ответ: \(1\tfrac{1}{9}\).
   
   
2. Определите содержание воды в зерне после просушки: изначальная масса 200 кг, 25% воды (50 кг воды, 150 кг сухого вещества). После потери 20 кг новая масса зерна: 180 кг. Новая масса воды: \(50 - 20 = 30\) кг.
   Решение: \[ \text{Процент воды} = \frac{30}{180} \cdot 100% = \frac{1}{6} \cdot 100% \approx 16\tfrac{2}{3}\%. \] Ответ: \(16\tfrac{2}{3}\)\%.
   
   
3. Вычислите значение выражения при \(a=2024\) и \(b=2025\): \[ \Bigl(\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a}\Bigr) \;\cdot\; \frac{a + b}{2b}. \] Решение: Упростим выражение в скобках: \[ \frac{ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{b}{2(b - a)} = \frac{ab}{(a - b)(a + b)} - \frac{b}{2(a - b)} = \frac{2ab - b(a + b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{b}{2(a + b)}. \] После умножения на \(\frac{a + b}{2b}\): \[ \frac{b}{2(a + b)} \cdot \frac{a + b}{2b} = \frac{1}{4}. \] Ответ: \(\frac{1}{4}\).
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x + y - 2z = 3,\\ 2x + 3y + z = 10,\\ 3x - 2y + 3z = 13. \end{cases} \] Решение: Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = 3 - 4x + 2z\). Подставим во второе и третье: \[ 2x + 3(3 - 4x + 2z) + z = 10 \Rightarrow -10x + 7z = 1, \] \[ 3x - 2(3 - 4x + 2z) + 3z = 13 \Rightarrow 11x - 4z = 19. \] Решаем систему: \[ \begin{cases} -10x + 7z = 1,\\ 11x - 4z = 19. \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 4, второе на 7: \[ \begin{cases} -40x + 28z = 4,\\ 77x - 28z = 133. \end{cases} \] Сложим уравнения: \(37x = 137 \Rightarrow x = 3,7\). Подставим \(x\) и найдём \(z = 5,571\), затем \(y\).
   Ответ: \(x = \frac{137}{37}\), \(y = \frac{26}{37}\), \(z = \frac{206}{37}\). (Числовые значения можно представить как десятичные дроби).
   
   
5. Масса грибов: пусть белых грибов \(x\) кг, тогда лисичек \(2x\) кг, опят \(3x + 1\) кг. Общая масса: \[ x + 2x + (3x + 1) = 7 \Rightarrow 6x + 1 = 7 \Rightarrow x = 1. \] Массы: белые – 1 кг, лисички – 2 кг, опята – 4 кг. Ответ: белые – 1 кг, лисички – 2 кг, опята – 4 кг.
   
   
6. Пусть длины частей пути \(S_1\) и \(S_2\). Средняя скорость: \[ \frac{S_1 + S_2}{\frac{S_1}{v} + \frac{3S_2}{v}} = \frac{v}{2} \Rightarrow \frac{S_1 + S_2}{S_1 + 3S_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2(S_1 + S_2) = S_1 + 3S_2 \Rightarrow S_1 = S_2. \] Ответ: вторая часть равна первой (соотношение 1:1).
   
   
7. Пусть скорость автомобиля \(v\), пешехода \(u\), расстояние \(S\). Время встречи: \(\frac{S}{v + u}\). За это время автомобиль проезжает \(\frac{vS}{v + u}\), пешеход проходит \(\frac{uS}{v + u}\). Время движения автомобиля после встречи: \(\frac{\frac{uS}{v + u}}{v}\)(до А) + \(\frac{S}{v}\) (обратно). Общее время: \[ \frac{S}{v + u} + \frac{uS}{v(v + u)} + \frac{S}{v} = \frac{8}{3}. \] Так как автомобиль проезжает \(S\) за 1 час (\(v = S\)): \[ \frac{1}{1 + u/S} + \frac{u/S}{(1 + u/S)} + 1 = \frac{8}{3} \Rightarrow \text{решение даёт } u/S = \frac{1}{5}. \] Время пешехода: \(S / u = 5\) часов. Ответ: 5 часов.