ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2025 год

1. Вычислите без калькулятора: \[ \Bigl(6\tfrac{7}{12} - 3\tfrac{17}{36}\Bigr)\;\cdot\;2{,}5 \;-\; 4\tfrac{1}{3}\;\cdot\;\tfrac{20}{13}. \]
   
   
2. При проверке содержание воды по массе в зерне оказалось равным $25\%$. 200 кг этого зерна просушили, после чего оно потеряло в массе 20 кг. Определите содержание воды в зерне после просушки.
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a=2024\) и \(b=2025\): \[ \Bigl(\frac{ab}{a^2 - b^2} + \frac{b}{2b - 2a}\Bigr) \;\cdot\; \frac{a + b}{2b}. \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x + y - 2z = 3,\\ 2x + 3y + z = 10,\\ 3x - 2y + 3z = 13. \end{cases} \]
   
   
5. В корзине грибника лежат три сорта грибов: белые, лисички и опята. По массе белых грибов в 2 раза меньше, чем лисичек, а опят на 1 кг больше, чем белых и лисичек вместе. Найдите массу каждого сорта грибов, если их общая масса равна 7 кг.
   
   
6. Первую часть пути машина проехала со скоростью \(v\), вторую часть — со скоростью \(v/3\). В результате средняя скорость машины за весь путь оказалась равна \(v/2\). Во сколько раз вторая часть пути длиннее первой?
   
   
7. Автомобиль выехал из \(A\), и одновременно из \(C\) вышел пешеход. Автомобиль встретил пешехода, довёз его до \(A\) и поехал обратно в \(C\), затратив на весь путь \(2\) ч 40 мин. За какое время расстояние \(AC\) проходит пешеход, если автомобилю на это требуется 1 ч?
   
   

Решения задач

1. Вычислите без калькулятора: \[ \Bigl(6\tfrac{7}{12} - 3\tfrac{17}{36}\Bigr)\;\cdot\;2{,}5 \;-\; 4\tfrac{1}{3}\;\cdot\;\tfrac{20}{13}. \]
   Решение: Сначала преобразуем смешанные дроби: \[ 6\tfrac{7}{12} = \frac{6 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{79}{12}, \quad 3\tfrac{17}{36} = \frac{3 \cdot 36 + 17}{36} = \frac{125}{36}, \] \[ 4\tfrac{1}{3} = \frac{13}{3}. \] Вычислим разность: \[ \frac{79}{12} - \frac{125}{36} = \frac{237 - 125}{36} = \frac{112}{36} = \frac{28}{9}. \] Умножим на 2,5: \[ \frac{28}{9} \cdot \frac{5}{2} = \frac{140}{18} = \frac{70}{9}. \] Теперь вычислим второе произведение: \[ \frac{13}{3} \cdot \frac{20}{13} = \frac{20}{3}. \] Итоговый результат: \[ \frac{70}{9} - \frac{20}{3} = \frac{70 - 60}{9} = \frac{10}{9} = 1\tfrac{1}{9}. \] Ответ: \(1\tfrac{1}{9}\).
2. Определите содержание воды в зерне после просушки: изначальная масса 200 кг, 25% воды (50 кг воды, 150 кг сухого вещества). После потери 20 кг новая масса зерна: 180 кг. Новая масса воды: \(50 - 20 = 30\) кг.
   Решение: \[ \text{Процент воды} = \frac{30}{180} \cdot 100% = \frac{1}{6} \cdot 100% \approx 16\tfrac{2}{3}\%. \] Ответ: \(16\tfrac{2}{3}\)\%.
3. Задача.
   
   Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a = 2024\) и \(b = 2025\):
   \[ \left(\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{b}{2b-2a}\right)\cdot \frac{a+b}{2b}. \]
   Решение.
   
   1. Упростим первую скобку:
   \[ \frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{b}{2b-2a}. \]
   Разложим знаменатели:
   \[ a^2-b^2 = (a-b)(a+b),\quad 2b-2a = 2(b-a) = -2(a-b). \]
   Тогда
   \[ \frac{ab}{a^2-b^2} = \frac{ab}{(a-b)(a+b)},\qquad \frac{b}{2b-2a} = \frac{b}{-2(a-b)} = -\frac{b}{2(a-b)}. \]
   Приведём к общему знаменателю \(2(a-b)(a+b)\):
   \[ \frac{ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{2ab}{2(a-b)(a+b)},\qquad -\frac{b}{2(a-b)} = -\frac{b(a+b)}{2(a-b)(a+b)}. \]
   Складываем дроби:
   \[ \frac{2ab - b(a+b)}{2(a-b)(a+b)}. \]
   Числитель:
   \[ 2ab - b(a+b) = 2ab - ab - b^2 = ab - b^2 = b(a-b). \]
   Тогда
   \[ \frac{2ab - b(a+b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{b(a-b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{b}{2(a+b)}. \]
   Итак, первая скобка равна \(\dfrac{b}{2(a+b)}\).
   
   2. Подставим это в исходное выражение:
   \[ \left(\frac{b}{2(a+b)}\right)\cdot\frac{a+b}{2b}. \]
   Сократим \(a+b\) и \(b\):
   \[ \left(\frac{b}{2(a+b)}\right)\cdot\frac{a+b}{2b} = \frac{1}{4}. \]
   Получили, что выражение равно \(\dfrac14\) и не зависит от конкретных значений \(a\) и \(b\) (если знаменатель не равен нулю).
   
   3. При \(a=2024\), \(b=2025\) значение остаётся тем же:
   \[ \left(\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{b}{2b-2a}\right)\cdot \frac{a+b}{2b} = \frac{1}{4}. \]
   Ответ.
   
   \(\dfrac{1}{4}\).
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x + y - 2z = 3,\\ 2x + 3y + z = 10,\\ 3x - 2y + 3z = 13. \end{cases} \] Решение: Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = 3 - 4x + 2z\). Подставим во второе и третье: \[ 2x + 3(3 - 4x + 2z) + z = 10 \Rightarrow -10x + 7z = 1, \] \[ 3x - 2(3 - 4x + 2z) + 3z = 13 \Rightarrow 11x - 4z = 19. \] Решаем систему: \[ \begin{cases} -10x + 7z = 1,\\ 11x - 4z = 19. \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 4, второе на 7: \[ \begin{cases} -40x + 28z = 4,\\ 77x - 28z = 133. \end{cases} \] Сложим уравнения: \(37x = 137 \Rightarrow x = 3,7\). Подставим \(x\) и найдём \(z = 5,571\), затем \(y\).
   Ответ: \(x = \frac{137}{37}\), \(y = \frac{26}{37}\), \(z = \frac{206}{37}\). (Числовые значения можно представить как десятичные дроби).
5. Масса грибов: пусть белых грибов \(x\) кг, тогда лисичек \(2x\) кг, опят \(3x + 1\) кг. Общая масса: \[ x + 2x + (3x + 1) = 7 \Rightarrow 6x + 1 = 7 \Rightarrow x = 1. \] Массы: белые – 1 кг, лисички – 2 кг, опята – 4 кг. Ответ: белые – 1 кг, лисички – 2 кг, опята – 4 кг.
6. Задача.
   
   Первую часть пути машина проехала со скоростью \(v\), вторую часть со скоростью \(\dfrac{v}{3}\). В результате средняя скорость машины за весь путь оказалась равна \(\dfrac{v}{2}\). Во сколько раз вторая часть пути длиннее первой?
   Решение.
   
   Пусть длина первой части пути равна \(s\), тогда длина второй части равна \(ks\).
   
   Время движения по первому участку:
   \[ t_1 = \frac{s}{v}. \]
   Время движения по второму участку (скорость \(\dfrac{v}{3}\)):
   \[ t_2 = \frac{ks}{v/3} = \frac{3ks}{v}. \]
   Общее время:
   \[ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v} + \frac{3ks}{v} = \frac{s(1+3k)}{v}. \]
   Общий путь:
   \[ S = s + ks = s(1+k). \]
   Средняя скорость равна отношению пути ко времени:
   \[ v_{\text{ср}} = \frac{S}{t} = \frac{s(1+k)}{\,s(1+3k)/v\,} = v\cdot\frac{1+k}{1+3k}. \]
   По условию \(v_{\text{ср}} = \dfrac{v}{2}\), значит
   \[ v\cdot\frac{1+k}{1+3k} = \frac{v}{2}. \]
   Сократим на \(v\):
   \[ \frac{1+k}{1+3k} = \frac{1}{2}. \]
   Перемножим «крест-накрест»:
   \[ 2(1+k) = 1+3k. \]
   Раскрываем скобки и переносим члены:
   \[ 2 + 2k = 1 + 3k \Rightarrow 2-1 = 3k-2k \Rightarrow 1 = k. \]
   Значит, \(k = 1\), то есть вторая часть пути равна первой по длине.
   
   Ответ.
   
   Вторая часть пути в \(1\) раз длиннее первой, то есть их длины одинаковы.
7. Пусть скорость автомобиля \(v\), пешехода \(u\), расстояние \(S\). Время встречи: \(\frac{S}{v + u}\). За это время автомобиль проезжает \(\frac{vS}{v + u}\), пешеход проходит \(\frac{uS}{v + u}\). Время движения автомобиля после встречи: \(\frac{\frac{uS}{v + u}}{v}\)(до А) + \(\frac{S}{v}\) (обратно). Общее время: \[ \frac{S}{v + u} + \frac{uS}{v(v + u)} + \frac{S}{v} = \frac{8}{3}. \] Так как автомобиль проезжает \(S\) за 1 час (\(v = S\)): \[ \frac{1}{1 + u/S} + \frac{u/S}{(1 + u/S)} + 1 = \frac{8}{3} \Rightarrow \text{решение даёт } u/S = \frac{1}{5}. \] Время пешехода: \(S / u = 5\) часов. Ответ: 5 часов.