ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2025

1. Вычислите без калькулятора: \[ \Bigl(10{,}5 + \frac{0{,}75 + \tfrac12}{\tfrac{2}{3} - \tfrac{3}{7}}\Bigr) \;\colon\;\Bigl(\tfrac14 + 2\Bigr). \]
   
   
2. Массовое содержание примесей в добытой медной руде составляло $40\%$. В процессе очистки 100 т такой руды удалось отсеять 25 т примесей. Определите массовое содержание примесей в медной руде после очистки.
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a=2024\) и \(b=2025\): \[ \bigl(\tfrac1a - \tfrac1b\bigr)\;\cdot\; \frac{(a-b)^2}{\displaystyle\bigl(\tfrac a b -1\bigr)-\bigl(1-\tfrac b a\bigr)}. \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5,\\ 5x + 4y = 2. \end{cases} \]
   
   
5. Андрей, Азамат и Альберт разделили между собой 30 яблок. В результате оказалось, что у Андрея и Азамата вместе на 4 яблока больше, чем у Альберта, а у Альберта и Андрея в 2 раза больше, чем у Азамата. Сколько яблок у каждого из ребят?
   
   
6. Автомобиль первую часть пути проехал со скоростью \(v_1=80\) км/ч, затем сделал остановку на время \(t=30\) мин. Оставшуюся часть маршрута он преодолел за время \(t_2=2\) ч со скоростью \(v_2=120\) км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля на всём пути, равном \(l=360\) км.
   
   
7. Два семиклассника движутся навстречу друг другу так, что за каждые \(t_1=10\) с расстояние между ними уменьшается на \(S_1=16\) м. Если же они будут двигаться в одном направлении, то за каждые \(t_2=5\) с расстояние между ними будет увеличиваться на \(S_2=3\) м. Найдите скорости семиклассников.
   
   

Решения задач

1. Вычислите без калькулятора: \[ \Bigl(10{,}5 + \frac{0{,}75 + \tfrac12}{\tfrac{2}{3} - \tfrac{3}{7}}\Bigr) \;\colon\;\Bigl(\tfrac14 + 2\Bigr). \] Решение: Поэтапно вычислим выражение: 1. Вычислим внутренние дроби:
   $\frac{2}{3} - \frac{3}{7} = \frac{14 - 9}{21} = \frac{5}{21}$
   $0{,}75 + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$ 2. Разделим полученные значения:
   $\frac{5}{4} \;\colon\; \frac{5}{21} = \frac{5}{4} \cdot \frac{21}{5} = \frac{21}{4} = 5{,}25$ 3. Сложим с 10,5:
   $10{,}5 + 5{,}25 = 15,,75$ 4. Вычислим знаменатель:
   $\frac{1}{4} + 2 = 2{,}25$ 5. Разделим результаты:
   $15{,}75 \;\colon\; 2,,25 = 7$ Ответ: 7.
2. Определите массовое содержание примесей в медной руде после очистки.
   Решение: Исходная масса примесей: $100 \cdot 0{,}4 = 40$ т.
   После удаления: $40 - 25 = 15$ т примесей осталось.
   Масса очищенной руды: $100 - 25 = 75$ т.
   Новое содержание примесей: $\frac{15}{75} = 0{,}2$ или $20\%$.
   Ответ: $20\%$.
3. Вычислите значение выражения при \(a=2024\) и \(b=2025\): \[ \bigl(\tfrac1a - \tfrac1b\bigr)\;\cdot\; \frac{(a-b)^2}{\displaystyle\bigl(\tfrac a b -1\bigr)-\bigl(1-\tfrac b a\bigr)}. \] Решение: 1. Подставим значения:
   $(a-b) = -1$, $(a-b)^2 = 1$ 2. Упростим числитель второй дроби:
   $\left(\frac{a}{b} -1\right) - \left(1 - \frac{b}{a}\right) = \frac{a - b}{b} - \frac{a - b}{a} = (a - b)\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{a}\right)$ 3. Исходное выражение преобразуется:
   $\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) \cdot \frac{1}{(a - b)\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{a}\right)} = \frac{1}{(a - b)} = -1$ Ответ: -1.
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5,\\ 5x + 4y = 2. \end{cases} \] Решение: 1. Умножим первое уравнение на 5, второе на 2:
   $10x + 15y = 25$
   $10x + 8y = 4$ 2. Вычтем уравнения:
   $7y = 21 \Rightarrow y = 3$ 3. Подставим \(y = 3\) в первое уравнение:
   $2x + 9 = 5 \Rightarrow x = -2$ Ответ: \(x = -2\), \(y = 3\).
5. Определите количество яблок у каждого из ребят.
   Решение: Пусть:
   Андрей — \(x\), Азамат — \(y\), Альберт — \(z\).
   Система: \[ \begin{cases} x + y + z = 30,\\ x + y = z + 4,\\ x + z = 2y. \end{cases} \] 1. Из второго уравнения: \(x + y - z = 4\). Сложим с первым: \(2x + 2y = 34 \Rightarrow x + y = 17\) 2. Из третьего уравнения: \(x + z = 2y\). Подставим \(z = 30 - x - y\):
   \(x + 30 - x - y = 2y \Rightarrow 30 - y = 2y \Rightarrow y = 10\) 3. Тогда \(x = 17 - 10 = 7\), \(z = 30 - 7 - 10 = 13\) Ответ: Андрей — 7, Азамат — 10, Альберт — 13.
6. Определите среднюю скорость автомобиля.
   Решение: 1. Вторая часть пути: \(120 \cdot 2 = 240\) км
   Первая часть: \(360 - 240 = 120\) км
   Время первой части: \(\frac{120}{80} = 1{,}5\) ч 2. Общее время:
   \(1{,}5 + 0{,}5 + 2 = 4\) ч 3. Средняя скорость:
   \(\frac{360}{4} = 90\) км/ч Ответ: 90 км/ч.
7. Найдите скорости семиклассников.
   Решение: Пусть \(v_1\) и \(v_2\) — их скорости (м/с).
   Система: \[ \begin{cases} (v_1 + v_2) \cdot 10 = 16,\\ (v_1 - v_2) \cdot 5 = -3. \end{cases} \] 1. Упростим:
   \(v_1 + v_2 = 1{,}6\\ v_1 - v_2 = -0{,}6\) 2. Сложим уравнения:
   \(2v_1 = 1 \Rightarrow v_1 = 0{,}5\) м/с 3. Вычтем:
   \(2v_2 = 2{,}2 \Rightarrow v_2 = 1{,}1\) м/с Ответ: 0,5 м/с и 1,1 м/с.