ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2024

1. Вычислите без калькулятора: \[ \frac{6{,}72 : \tfrac{3}{5} \;+\; \tfrac{27}{24} * 0{,}8} {1{,}21 \cdot 3} \;-\; \frac{21}{9} = \]
   
   
2. Свежий инжир содержит 90% воды по массе, а сушёный инжир — 5% воды. Сколько килограммов свежего инжира понадобится для получения 8 кг сушёного продукта?
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a=2023\) и \(b=2024\): \[ \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) \;*\; \Bigl( \frac{(a - b)^2}{\tfrac{a}{b} - 1 \;-\; \bigl(1 - \tfrac{b}{a}\bigr)} \Bigr) = \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + 2y - z = 0,\\ 2x - y + z = 1,\\ 3x - 2y + 2z = 2. \end{cases} \]
   
   
5. На ферме живут 3 поросёнка, 15 индеюшат и 10 гусей. Сможет ли фермер на тележке с грузоподъёмностью 175 кг увезти за один раз всех животных, если масса двух индеюшат равна массе одного гуся, два поросёнка вместе с пятью гусями и шестью индеюшатами весят 98 кг, а один поросёнок с двумя гусями и тремя индеюшатами — 46 кг?
   
   
6. Велосипедист треть пути ехал со скоростью \(v_1 = 40\)км/ч, а оставшуюся часть пути — со скоростью \(v_2 = 20\)км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста на всём пути.
   
   
7. Между двумя пристанями, расположенными на противоположных берегах озера, курсируют быстроходный катер и моторная лодка. Катер преодолевает расстояние между пристанями за время \(t_1 = 1\) ч, а лодка — за \(t_2 = 90\) мин. Ровно в полдень, с противоположных пристаней, одновременно отправились катер и лодка навстречу друг другу. Какое время показывали часы капитана катера в момент встречи с лодкой, если известно, что они отстают на 6 минут?

Решения задач

1. Вычислите без калькулятора: \[ \frac{6{,}72 : \tfrac{3}{5} \;+\; \tfrac{27}{24} \cdot 0{,}8}{1{,}21 \cdot 3} \;-\; \frac{21}{9} \] Решение: \[ \frac{6{,}72 : 0{,}6 + \tfrac{9}{8} \cdot 0{,}8}{3{,}63} - \tfrac{7}{3} = \frac{11{,}2 + 0{,}9}{3{,}63} - \tfrac{7}{3} = \frac{12{,}1}{3{,}63} - \tfrac{7}{3} = \tfrac{10}{3} - \tfrac{7}{3} = 1 \] Ответ: \(1\).
2. Свежий инжир содержит 90% воды. Для 8 кг сушёного (5% воды) требуется:
   Решение: Сухое вещество в сушёном: \(0{,}95 \cdot 8 = 7{,}6\) кг. В свежем это 10% массы: \[ x = \frac{7{,}6}{0{,}1} = 76 \text{ кг} \] Ответ: 76 кг.
3. Вычислите выражение при \(a=2023\), \(b=2024\): \[ \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) \cdot \frac{(a - b)^2}{\tfrac{a}{b} - 1 - \left(1 - \tfrac{b}{a}\right)} \] Решение: Упростим дробь: \[ \frac{b - a}{ab} \cdot \frac{(a - b)^2}{\tfrac{a^2 - b^2 - b^2}{ab}} = \frac{-1}{a b} \cdot \frac{(a - b)^2 \cdot a b}{a^2 - 2 b^2} = -\frac{(a - b)}{a^2 - 2 b^2}(a - b) \] Подставим \(a - b = -1\): \[ \frac{-1 \cdot (-1)}{2023^2 - 2 \cdot 2024^2} = \frac{1}{-(2024 + 2023)} = -\frac{1}{4047} \] Ответ: \(-\tfrac{1}{4047}\).
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + 2y - z = 0,\\ 2x - y + z = 1,\\ 3x - 2y + 2z = 2 \end{cases} \] Решение:
   Выразим \(z = x + 2y\) из первого уравнения. Подставим во второе: \[ 2x - y + (x + 2y) = 1 \Rightarrow 3x + y = 1 \] Подставим в третье уравнение: \[ 3x - 2y + 2(x + 2y) = 2 \Rightarrow 5x + 2y = 2 \] Решим систему: \[ \begin{cases} 3x + y = 1 \\ 5x + 2y = 2 \end{cases} \Rightarrow x = 0,\ y = 1,\ z = 2 \] Ответ: \((0;\ 1;\ 2)\).
5. Проверка грузоподъёмности:
   Решение: Пусть масса индеюшонка \(i\), гуся \(g = 2i\), поросёнка \(p\). \[ \begin{cases} 2p + 5g + 6i = 98 \\ p + 2g + 3i = 46 \end{cases} \Rightarrow p = 25,\ i = 3,\ g = 6 \] Общая масса: \[ 3 \cdot 25 + 15 \cdot 3 + 10 \cdot 6 = 180 \text{ кг} > 175 \text{ кг} \] Ответ: нет, не сможет.
6. Средняя скорость велосипедиста:
   Решение: Пусть путь \(S\). Время \(t_1 = \tfrac{S}{3 \cdot 40}\), \(t_2 = \tfrac{2S}{3 \cdot 20}\): \[ v_{\text{ср}} = \frac{S}{\tfrac{S}{120} + \tfrac{S}{30}} = 24 \text{ км/ч} \] Ответ: \(24\) км/ч.
7. Время встречи катера и лодки:
   Решение: Скорости катера \(v\), лодки \(\tfrac{2v}{3}\). Время встречи: \[ t = \tfrac{S}{v + \tfrac{2v}{3}} = \tfrac{3}{5} \text{ ч} = 36 \text{ мин} \] Часы капитана: \(12{:}00 + 0{:}36 - 0{:}06 = 12{:}30\). Ответ: \(12{:}30\).