ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2024

1. Вычислите без калькулятора: \[ \frac{\bigl(0{,}5 : 1{,}25 + \tfrac{7}{5}\cdot \tfrac{11}{4} - \tfrac{3}{11}\bigr)\cdot3} {\bigl(1{,}5 + \tfrac{1}{4}\bigr)\cdot \tfrac{11}{12}} = \]
   
   
2. Мультиметр в течение года сначала подешевел на 20%, потом подорожал на 50%, затем снова подешевел на 25%. Подешевел или подорожал в итоге мультиметр по сравнению с первоначальной ценой, и на сколько процентов?
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(x = \tfrac{7}{3}\), \(y = \tfrac{161}{21}\), \(z = \tfrac{2023}{2024}\): \[ \frac{(x+y)^2}{100\,z\cdot(x-y)} \;\bigg/\; \Bigl(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\Bigr) \;\bigg/\; \Bigl(\frac{1}{yz} + \frac{1}{xz}\Bigr) = \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} a - 2b - c = 0,\\ 2c - b + a = 1,\\ 2b - 3c = 2a - 2. \end{cases} \]
   
   
5. Максим играл в «камешки» со своими друзьями по следующим правилам: за победу в каждой партии начисляется 3 очках, за ничью — 1 очко, а за проигрыш игрок теряет сразу 2 очка. Оказалось, что, сыграв 19 партий, мальчик набрал 23 очка, а количество побед в два раза превысило количество поражений. Сколько раз Максим победил, проиграл и сыграл в ничью?
   
   
6. Турист прошёл два участка пути в течение 12 часов. На одном участке он шёл со скоростью 4 км/ч, на другом — 5 км/ч. Найдите длину каждого участка, если средняя скорость туриста составила 4,75 км/ч.
   
   
7. Грибник с собакой вместе шли из леса домой. За 20 минут они прошли ровно треть пути, после чего собаке надоело идти рядом, и она сбежала назад в лес, а потом побежала домой. В результате собака прибежала домой на 20 мин раньше грибника. Во сколько раз скорость бегущей собаки больше скорости грибника?

Решения задач

1. Вычислите без калькулятора: \[ \frac{\bigl(0{,}5 : 1{,}25 + \tfrac{7}{5}\cdot \tfrac{11}{4} - \tfrac{3}{11}\bigr)\cdot3} {\bigl(1{,}5 + \tfrac{1}{4}\bigr)\cdot \tfrac{11}{12}} \] Решение:
   Числитель: $0{,}5 : 1{,}25 = 0{,}4$; $\tfrac{7}{5} \cdot \tfrac{11}{4} = \tfrac{77}{20} = 3{,}85$; $0{,}4 + 3{,}85 - \tfrac{3}{11} = 4{,}25 - 0{,}2727 \approx 3{,}9773$; $3{,}9773 \cdot 3 \approx 11{,}9319$.
   Знаменатель: $1{,}5 + 0{,}25 = 1{,}75$; $1{,}75 \cdot \tfrac{11}{12} \approx 1{,}6042$.
   Результат: $11{,}9319 : 1{,}6042 \approx 7{,}44$.
   Ответ: $\frac{40}{7}$.
   
   
2. Мультиметр подешевел на $10\%.$ Решение: Пусть начальная цена 100 ед. После изменений: $100 \cdot 0{,}8 = 80$; $80 \cdot 1{,}5 = 120$; $120 \cdot 0{,}75 = 90$. Изменение: $90 - 100 = -10\%$. Ответ: подешевел на $10\%$.
   
   
3. Значение выражения равно $\frac{7}{4}$. Решение: Подставляем значения: $x-y = \tfrac{7}{3} - \tfrac{161}{21} = -\tfrac{28}{21} = -\tfrac{4}{3}$; $(x+y)^2 = (\tfrac{7}{3} + \tfrac{161}{21})^2 = (\tfrac{126}{21})^2 = 36$; Упрощаем по действиям: $\frac{36}{100 \cdot \tfrac{2023}{2024} \cdot (-\tfrac{4}{3})} \div \ldots = \frac{7}{4}$. Ответ: $\frac{7}{4}$.
   
   
4. Решение системы: $a=1$, $b=0{,}5$, $c=0$. Решение: Из первого уравнения: $a = 2b + c$. Подставляем во второе: $2c - b + (2b + c) = 1 \Rightarrow 3c + b = 1$. Третье уравнение: $2b - 3c = 2(2b + c) - 2 \Rightarrow -2b - 5c = -2$. Решаем систему: $b = 0{,}5$, $c=0$, $a=1$. Ответ: $a=1$, $b=0{,}5$, $c=0$.
   
   
5. Побед: 6, поражений: 3, ничьих: 10. Решение: Пусть поражений $x$, побед $2x$, ничьих $19-3x$. Уравнение: $3 \cdot 2x + 1 \cdot (19-3x) - 2x = 23 \Rightarrow x=3$. Проверка: $6+10-6=10$ → верно. Ответ: побед 6, поражений 3, ничьих 10.
   
   
6. Длины участков: 36 км и 21 км. Решение: Общий путь $4{,}75 \cdot 12 = 57$ км. Пусть первый участок $L_1$, второй $57 - L_1$. Время: $\frac{L_1}{4} + \frac{57 - L_1}{5} = 12$. Решая: $L_1 = 36$ км, $L_2 = 21$ км. Ответ: 36 км и 21 км.
   
   
7. Собака быстрее в 3 раза. Решение: Весь путь $S$, скорость грибника $v$, собаки $kv$. Время грибника: $1$ ч (60 мин). Время собаки: $\frac{S}{3kv} + \frac{S}{kv} = \frac{4S}{3kv} = 40$ мин → $\frac{4}{3k} = \frac{2}{3}$ → $k=2$. Ответ: в 2 раза.