ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2023

1. Вычислите без калькулятора: \[ \Bigl(\tfrac{5}{9} - 1\tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{1}{3}\Bigr)\;\cdot\;\tfrac{5}{9} \;+\; 1 = \]
   
   
2. Какую массу воды нужно добавить к 900 г 15% водного раствора соли, чтобы процентное содержание соли стало 3%?
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a=2022\), \(b=2023\): \[ \Bigl(\tfrac{a}{b} - 1\Bigr)\;\cdot\; \frac{a^2 - b^2}{1 + \tfrac{a}{b}} = \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3y - 2x = 0,\\ 0{,}8x - y = \tfrac{2}{5}. \end{cases} \]
   
   
5. В одном мешке лежат три сорта орехов: миндаль, фундук и грецкий орех. По массе весь миндаль в 5 раз меньше фундука, а грецких орехов на 25 кг больше, чем миндаля. Найдите массу каждого сорта орехов, если мешок с орехами весит 60 кг. Массу пустого мешка не учитывать.
   
   
6. Первую часть пути автомобиль ехал с постоянной скоростью \(v_1 = 100\)км/ч, а вторую — с постоянной скоростью \(v_2 = 80\)км/ч на 1 ч дольше, чем первую часть пути. Всего автомобиль проехал \(S = 440\)км. Какова средняя скорость \(v_{\mathrm{ср}}\) автомобиля на всём пути? Сколько времени \(t_1\) он затратил на проезд первой части пути?
   
   
7. Два встречных поезда, движущиеся с постоянной скоростью \(v = 90\)км/ч каждый, разъехались друг с другом за время 25 с. Найдите длины этих поездов, если один из них проехал мимо столба за 20 с.

Решения задач

1. Вычислите без калькулятора: \[ \Bigl(\tfrac{5}{9} - 1\tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{1}{3}\Bigr)\;\cdot\;\tfrac{5}{9} \;+\; 1 \] Решение: Переведём смешанное число:
   $1\tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3}$.
   Выполняем умножение: $\tfrac{5}{3} \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{9}$
   Вычитаем: $\tfrac{5}{9} - \tfrac{5}{9} = 0$
   Умножаем на $\tfrac{5}{9}$: $0 \cdot \tfrac{5}{9} = 0$
   Добавляем 1: $0 + 1 = 1$
   Ответ: 1.
   
   
2. Какую массу воды нужно добавить к 900 г 15% раствора соли?
   Решение: Масса соли в растворе: $900 \cdot 0,15 = 135$ г.
   В новом растворе соль составляет 3%: $135 : 0,03 = 4500$ г.
   Масса добавленной воды: $4500 - 900 = 3600$ г
   Ответ: 3600 г.
   
   
3. Вычислите значение выражения при \(a=2022\), \(b=2023\): \[ \Bigl(\tfrac{a}{b} - 1\Bigr)\;\cdot\;\frac{a^2 - b^2}{1 + \tfrac{a}{b}} \] Решение: Упростим выражение:
   $\Bigl(\tfrac{a - b}{b}\Bigr) \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{\tfrac{a + b}{b}} = -(a + b)$
   Подставляем значения: \(-(2022 + 2023) = -4045\)
   Ответ: \(-4045\).
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3y - 2x = 0,\\ 0{,}8x - y = \tfrac{2}{5} \end{cases} \] Решение: Выразим \(y\) из первого уравнения: $y = \tfrac{2x}{3}$
   Подставим во второе уравнение: $0{,}8x - \tfrac{2x}{3} = \tfrac{2}{5}$
   Приведём к общему знаменателю: $x = 3$
   Найдём \(y\): $y = 2$
   Ответ: \(x=3\), \(y=2\).
   
   
5. Найдите массу каждого сорта орехов:
   Решение: Пусть масса миндаля \(x\) кг. Тогда:
   Фундук: \(5x\) кг
   Грецкие орехи: \(x + 25\) кг
   Уравнение по общей массе: \(x + 5x + x + 25 = 60\)
   \(7x = 35 \Rightarrow x = 5\)
   Ответ: миндаль — 5 кг, фундук — 25 кг, грецкий орех — 30 кг.
   
   
6. Средняя скорость и время проезда:
   Решение: Пусть время первой части \(t_1\) часов. Тогда:
   Расстояние первой части: \(100t_1\)
   Время второй части: \(t_1 + 1\)
   Расстояние второй части: \(80(t_1 + 1)\)
   Общее расстояние: \(100t_1 + 80(t_1 + 1) = 440\)
   \(180t_1 + 80 = 440 \Rightarrow t_1 = 2\) ч
   Средняя скорость: \(440 : (2 + 3) = 88\) км/ч
   Ответ: \(v_{\text{ср}} = 88\) км/ч, \(t_1 = 2\) ч.
   
   
7. Найдите длины поездов:
   Решение: При встречном движении их скорость относительно друг друга: \(90 + 90 = 180\) км/ч \(= 50\) м/с.
   Общая длина: \(50 \cdot 25 = 1250\) м.
   Один поезд проходит столб за 20 с: \(90 \cdot \tfrac{20}{3600} \cdot 1000 = 500\) м.
   Длина второго поезда: \(1250 - 500 = 750\) м
   Ответ: 500 м и 750 м.