ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2023

1. Вычислите без калькулятора: \[ \bigl(1\tfrac{3}{4}\;\cdot\;2\tfrac{2}{3}\;-\;1{,}75\;\div\;\tfrac{3}{2}\bigr)\;\cdot\;\tfrac{5}{7} = \]
   
   
2. Кусок сплава меди с оловом имеет массу 80 кг и содержит 80% олова. Сколько чистой меди следует добавить к этому сплаву, чтобы содержание олова в нём составило 40%?
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a = 2023\) и \(b = 2022\): \[ (a - b)\;\cdot\;\bigl(\tfrac{a}{b} - \tfrac{b}{a}\bigr) \;\big/\; \bigl(\tfrac{a}{b} + \tfrac{b}{a} - 2\bigr) = \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} - y = -\tfrac{1}{2},\\ 3x + 4y = 17. \end{cases} \]
   
   
5. В одной семье внуку, внучке и бабушке вместе 72 года. Бабушка старше внучки на 53 года, а внук младше внучки на 2 года. Сколько лет каждому?
   
   
6. Небольшой автомобиль, двигающийся по прямой дороге со скоростью \(v = 120\) км/ч, обгоняет пассажирский поезд, который движется параллельно автомобилю со скоростью \(u = 25\) м/с. Пассажир автомобиля заметил, что обгон длился время \(t = 1\) мин. Какова длина поезда \(l\)? Длину \(l\) выразите в метрах.
   
   
7. Чтобы добраться от дома до школы, ученик идёт пешком 10 минут, а затем едет полчаса на автобусе. Известно, что его скорость при ходьбе пешком равна \(u = 6\) км/ч. А общее время ожидания автобуса — 5 минут. Длина всего пути равна 12 км. Найдите:
   1. среднюю скорость ученика на всём пути;
   2. скорость движения автобуса.
   Искомые скорости выразить в км/ч.

Решения задач

1. Вычислите без калькулятора: \[ \left(1\frac{3}{4} \cdot 2\frac{2}{3} - 1{,}75 \div \frac{3}{2}\right) \cdot \frac{5}{7} \] Решение: \[ 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4},\quad 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3},\quad 1{,}75 = \frac{7}{4} \] \[ \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{56}{12} = \frac{14}{3} \] \[ \frac{7}{4} \div \frac{3}{2} = \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} \] \[ \frac{14}{3} - \frac{7}{6} = \frac{28}{6} - \frac{7}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} \] \[ \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{7} = \frac{35}{14} = 2{,}5 \] Ответ: \(2{,}5\).
   
   
2. Количество необходимой меди:
   Решение: Масса олова: \(80 \cdot 0{,}8 = 64\ \text{кг}\)
   Пусть \(x\) - масса добавленной меди: \[ \frac{64}{80 + x} = 0{,}4 \quad \Rightarrow \quad 64 = 32 + 0{,}4x \quad \Rightarrow \quad x = 80\ \text{кг} \] Ответ: 80 кг.
   
   
3. Упрощение выражения: \[ \frac{(a - b)\left(\frac{a^2 - b^2}{ab}\right)}{\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab}} = a + b \] Подстановка значений: \[ 2023 + 2022 = 4045 \] Ответ: 4045.
   
   
4. Решение системы: \[ \begin{cases} \frac{x}{2} - y = -\frac{1}{2} \\ 3x + 4y = 17 \end{cases} \] Выразим \(y\) из первого уравнения: \[ y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \] Подстановка во второе: \[ 3x + 4\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\right) = 17 \quad \Rightarrow \quad 5x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] \[ y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \] Ответ: \((3; 2)\).
   
   
5. Возраст членов семьи:
   Пусть внучке \(x\) лет: \[ (x - 2) + x + (x + 53) = 72 \quad \Rightarrow \quad x = 7 \] Ответ: внук — 5 лет, внучка — 7 лет, бабушка — 60 лет.
   
   
6. Длина поезда:
   Относительная скорость: \[ 120\ \text{км/ч} = 33\frac{1}{3}\ \text{м/с},\quad 33\frac{1}{3} - 25 = 8\frac{1}{3}\ \text{м/с} \] Длина поезда: \[ l = 8\frac{1}{3} \cdot 60 = 500\ \text{м} \] Ответ: 500 м.
   
   
7. Скорости:
   1. Общее время: \[ 10\ \text{мин} + 30\ \text{мин} + 5\ \text{мин} = 0{,}75\ \text{ч} \] Средняя скорость: \[ \frac{12}{0{,}75} = 16\ \text{км/ч} \]
   2. Расстояние автобуса: \[ 12 - 6 \cdot \frac{10}{60} = 11\ \text{км} \] Скорость автобуса: \[ \frac{11}{0{,}5} = 22\ \text{км/ч} \]
   Ответ: 16 км/ч и 22 км/ч.