ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2022

1. Вычислите без калькулятора: \[ \frac{6 \;\cdot\; 3{,}25\bigl(14\tfrac{4}{5} + \tfrac{4}{15}\bigr)\;-\;47} {7 - 1\tfrac{1}{10}} = \]
   
   
2. Сплав из меди и цинка массой 50 кг содержит 40% меди. Какое количество меди нужно добавить, чтобы получить сплав, содержащий 75% меди?
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a=2021\) и \(b=2022\): \[ \frac{2a^2 + 2ab}{a^2 - b^2} \;\Big/\; \Bigl(\frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b}\Bigr) = \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 7,\\ \dfrac{x}{y} = 2. \end{cases} \]
   
   
5. В одном бидоне на 5 л молока больше, чем в другом. Если из первого бидона перелить во второй 8 л, то во втором бидоне станет в 2 раза больше молока, чем останется в первом. Сколько литров молока в каждом бидоне, если ёмкость каждого из них составляет:
   1. 25 литров;
   2. 50 литров?
   
   
   
6. Спортсмен половину пути пробежал со скоростью \(v_1=5\)м/с, после чего доехал до финиша на велосипеде со скоростью \(v_2=36\)км/ч. Считая его движение на каждом участке равномерным, определите время бега \(t_1\) (в минутах), если весь маршрут занял у спортсмена \(t=2\) ч.
   
   
7. Поднимаясь по движущемуся со скоростью 0,75 м/с вверх эскалатору, человек насчитал 80 ступенек. Сколько ступенек он насчитает, спускаясь по этому же эскалатору, если скорость человека относительно эскалатора — 1,5 м/с?

Решения задач

1. Вычислите без калькулятора: \[ \frac{6 \cdot 3,25\left(14\tfrac{4}{5} + \tfrac{4}{15}\right) -47}{7 - 1\tfrac{1}{10}} = \] Решение: Преобразуем числа: \[ 3,25 = \frac{13}{4}, \quad 14\tfrac{4}{5} = \frac{74}{5}, \quad 1\tfrac{1}{10} = \frac{11}{10} \] Вычислим сумму в скобках: \[ \frac{74}{5} + \frac{4}{15} = \frac{222}{15} + \frac{4}{15} = \frac{226}{15} \] Подставим в числитель: \[ 6 \cdot \frac{13}{4} \cdot \frac{226}{15} = \frac{6 \cdot 13 \cdot 226}{4 \cdot 15} = \frac{17556}{60} = 292,6 \] Вычтем 47: \[ 292,6 - 47 = 245,6 \] Знаменатель: \[ 7 - \frac{11}{10} = \frac{70}{10} - \frac{11}{10} = \frac{59}{10} \] Итоговая дробь: \[ \frac{245,6}{\frac{59}{10}} = 245,6 \cdot \frac{10}{59} = \frac{2456}{59} = 41,64 \] Ответ: 41,64.
2. Сплав из меди и цинка массой 50 кг содержит 40% меди. Какое количество меди нужно добавить, чтобы получить сплав, содержащий 75% меди?
   Решение: Имеем меди в сплаве: \[ 50 \cdot 0,4 = 20 \ \text{кг} \] Пусть добавляем $x$ кг меди. Новый сплав: \[ \frac{20 + x}{50 + x} = 0,75 \Rightarrow 20 + x = 37,5 + 0,75x \Rightarrow 0,25x = 17,5 \Rightarrow x = 70 \] Ответ: 70 кг.
3. Вычислите значение выражения при \(a=2021\) и \(b=2022\): \[ \frac{2a^2 + 2ab}{a^2 - b^2} \Big/ \left(\frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b}\right) \] Решение: Упростим выражение: \[ \frac{2a(a + b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{2a}{a - b} \] Сумма дробей: \[ \frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b} = \frac{2a}{a^2 - b^2} \] Деление: \[ \frac{2a}{a - b} \cdot \frac{a^2 - b^2}{2a} = a + b = 2021 + 2022 = 4043 \] Ответ: 4043.
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 7,\\ \dfrac{x}{y} = 2. \end{cases} \] Решение: Из второго уравнения: \[ x = 2y \] Подставим в первое: \[ \frac{2y}{3} + \frac{y}{2} = 7 \Rightarrow \frac{7y}{6} = 7 \Rightarrow y = 6, \quad x = 12 \] Ответ: \(x = 12\), \(y = 6\).
5. В одном бидоне на 5 л молока больше, чем в другом. После переливания 8 л из первого во второй, во втором стало в 2 раза больше молока.
   Решение: Пусть во втором бидоне \(x\) л, в первом \(x + 5\) л. После переливания: \[ x + 8 = 2(x + 5 - 8) \Rightarrow x + 8 = 2(x - 3) \Rightarrow x = 14 \] В первом бидоне: \[ 14 + 5 = 19 \ \text{л} \] Ответ: 19 л и 14 л (одинаково для ёмкостей 25 и 50 л).
6. Время бега спортсмена:
   Решение: Пусть длина маршрута \(S\), тогда: \begin{align} \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} &= t \\ t_1 = \frac{S}{2v_1} &\Rightarrow \frac{S}{2 \cdot 5} = \frac{S}{10} \\ S = \frac{10 \cdot 5 \cdot 7200}{15} &= 24000 \ \text{м} \\ t_1 = \frac{24000}{2 \cdot 5} = 2400 \ \text{с} = 40 \ \text{минут} \end{align} Ответ: 2400 секунд или 40 минут (корректировка по правильным расчетам).
7. Число ступенек при спуске:
   Решение: Пусть всего ступенек \(N\), скорость эскалатора \(v_э = 0,75\ \text{м/с}\), время подъёма: \[ t = \frac{N}{v_ч + v_э} \cdot h \] При спуске: \[ N_{сп} = \frac{(v_ч + v_э)}{v_ч - v_э} \cdot N = \frac{2,25}{0,75} \cdot 80 = 3 \cdot 80 = 240 \] Ответ: 240 ступенек.