ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2022

1. Вычислите без калькулятора: \[ \bigl(9,5 - 3\tfrac{3}{5} + 5,5 - 6\tfrac{13}{15}\bigr) \;\;\bigl/\bigr.\;\; \bigl(2\tfrac{5}{12} + 1\tfrac{1}{3}\bigr) \;+\;0,3\cdot6\tfrac{2}{3} = \]
   
   
2. Цена на телескоп в течение некоторого времени менялась следующим образом: сначала он подешевел на 20%, потом подорожал на 50%, затем снова подешевел на 25%. Подешевел или подорожал в итоге телескоп по сравнению с первоначальной ценой и на сколько процентов?
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a=2021\) и \(b=2022\): \[ a\;\cdot\;\frac{\tfrac{b}{a}-1}{1+\tfrac{a}{b}} \;\;\big/\;\; \frac{b^2 - a b}{b^2 - a^2} = \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \tfrac{1}{3}y - \tfrac{1}{2}x = \tfrac{1}{6},\\ 3x + 5y = 34. \end{cases} \]
   
   
5. В магазин завезли коробки и ящики общим количеством 25 штук. Известно, что в каждом ящике — 4 кг апельсинов, а в каждой коробке — 2 кг яблок. Сколько килограммов каждого фрукта завезли в магазин, если их общая масса составила 70 кг?
   
   
6. Велосипедист выехал из пункта A в пункт B и двигался с постоянной скоростью \(v=20\)км/ч. Одновременно из пункта B навстречу ему выехал мотоциклист. Через некоторое время они встретились, затем мотоциклист доехал до пункта A, сразу же развернулся, быстро удвоил скорость и приехал в пункт B одновременно с велосипедистом. Найдите скорость \(u\) мотоциклиста при движении из B в A (считайте её постоянной).
   
   
7. Однажды червяк и улитка соревновались в скорости передвижения. Они преодолевали участок длиной \(L\), при этом улитка двигалась с постоянной скоростью \(v_0=36\) мм/мин. Червяк же прополз часть пути длиной \(L_1=0{,}5\,\mathrm{m}\) со скоростью \(v_1=0{,}50\) мм/с, а оставшуюся часть пути — со скоростью \(v_2=4{,}5\) см/мин. Определите среднюю скорость червяка \(v\) и длину участка \(L\), если известно, что участники стартовали и финишировали одновременно.

Решения задач

1. Вычислите без калькулятора: \[ \bigl(9,5 - 3\tfrac{3}{5} + 5,5 - 6\tfrac{13}{15}\bigr) \;\;\bigl/\bigr.\;\; \bigl(2\tfrac{5}{12} + 1\tfrac{1}{3}\bigr) \;+\;0,3\cdot6\tfrac{2}{3} \]
   Решение: Выразим смешанные дроби в виде неправильных дробей: \[ 9,5 = \frac{19}{2}, \; 3\frac{3}{5} = \frac{18}{5}, \; 5,5 = \frac{11}{2}, \; 6\frac{13}{15} = \frac{103}{15}, \] \[ 2\frac{5}{12} = \frac{29}{12}, \; 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\] Вычислим числитель: \[ \frac{19}{2} - \frac{18}{5} + \frac{11}{2} - \frac{103}{15} = \frac{285 - 108 + 165 - 206}{30} = \frac{136}{30} = \frac{68}{15} \] Знаменатель: \[ \frac{29}{12} + \frac{4}{3} = \frac{45}{12} = \frac{15}{4} \] Результат деления: \[ \frac{68}{15} : \frac{15}{4} = \frac{272}{225} \] Вторая часть выражения: \[ 0,3 \cdot 6\frac{2}{3} = 0,3 \cdot \frac{20}{3} = 2 \] Итоговый ответ: \[ \frac{272}{225} + 2 = \frac{722}{225} = 3\frac{47}{225} \] Ответ: \(3\frac{47}{225}\).
   
   
2. Цена телескопа после последовательных изменений:
   Решение: Пусть исходная цена $100\%$. После первого понижения: \(100\ 20% = 80\%\), затем повышение: \(80% \cdot 1,5 = 120\%\), после этого снижение: \(120% \cdot 0,75 = 90\%\). Итоговая цена составляет 90% от исходной, то есть цена уменьшилась на $10\%$.
   Ответ: Телескоп подешевел на $10\%$.
   
   
3. Упростим выражение: \[ a\;\cdot\;\frac{\tfrac{b}{a}-1}{1+\tfrac{a}{b}} \;\;\big/\;\; \frac{b^2 - a b}{b^2 - a^2} \] Решение: Упростим поочередно: \[ \frac{\tfrac{b}{a} - 1}{1 + \tfrac{a}{b}} = \frac{b - a}{a} \cdot \frac{b}{b + a} = \frac{b(b - a)}{a(b + a)} \] Домножим на \(a\): \[ a \cdot \frac{b(b - a)}{a(b + a)} = \frac{b(b - a)}{b + a} \] Разделим на \(\frac{b^2 - ab}{b^2 - a^2} = \frac{b(b - a)}{(b - a)(b + a)} = \frac{b}{b + a}\): \[ \frac{b(b - a)}{b + a} : \frac{b}{b + a} = b - a \] При \(a = 2021, b = 2022\):
   Ответ: \(2022 - 2021 = 1\).
   
   
4. Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} \tfrac{1}{3}y - \tfrac{1}{2}x = \tfrac{1}{6}, \\ 3x + 5y = 34. \end{cases} \] Решение: Умножим первое уравнение на 6: \[ 2y - 3x = 1 \Rightarrow y = \frac{3x + 1}{2} \] Подставим во второе уравнение: \[ 3x + 5\left(\frac{3x + 1}{2}\right) = 34 \Rightarrow 6x + 15x + 5 = 68 \Rightarrow 21x = 63 \Rightarrow x = 3 \] Тогда: \[ y = \frac{3 \cdot 3 + 1}{2} = 5 \] Ответ: \(x = 3\), \(y = 5\).
   
   
5. Пусть \(x\) — количество ящиков (апельсины), \(y\) — коробок (яблоки). Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 25, \\ 4x + 2y = 70. \end{cases} \] Решение: Из первого уравнения \(y = 25 - x\). Подставим во второе: \[ 4x + 2(25 - x) = 70 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10 \Rightarrow y = 15 \] Тогда масса апельсинов: \(4 \cdot 10 = 40\) кг, яблок: \(2 \cdot 15 = 30\) кг.
   Ответ: 40 кг апельсинов, 30 кг яблок.
   
   
6. Пусть расстояние между пунктами \(S\). Время до встречи \(t\): \[ S = 20t + ut \] Время движения мотоциклиста до A и обратно: \[ \frac{20t}{u} \text{ и } \frac{20t + ut}{2u} \] Уравнение общего времени: \[ \frac{ut}{20} = \frac{20t}{u} + \frac{20t + ut}{2u} \Rightarrow u^2 - 10u - 600 = 0 \Rightarrow u = 30 \] Ответ: 30 км/ч.
   
   
7. Средняя скорость червяка:
   Решение: Время движения червяка и улитки равно: \[ \frac{500}{30} + \frac{L - 500}{45} = \frac{L}{36} \] Упрощая, получим \(L = 1000\) мм (1 метр). Средняя скорость: \[ v = \frac{1000}{\frac{500}{30} + \frac{500}{45}} = 36 \text{ мм/мин}. \] Ответ: \(v = 36\) мм/мин, \(L = 1\) м.