ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2021 год

1. Вычислите без калькулятора: \[ \frac{10}{28} \;\colon\; \Bigl(3 - \tfrac{19}{7}\Bigr) \;\biggl/\!\! \frac{\tfrac{4}{7} + \tfrac{2}{3}} {\tfrac{2}{5} + \tfrac{5}{7}} \;\cdot\; \frac{5}{9} = \]
   
   
2. Петя купил две книги. Первая книга оказалась на 75% дешевле второй. На сколько процентов вторая книга дороже первой?
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a = 2021\) и \(b = 2020\): \[ \Bigl(1 - \bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^{2}\Bigr) \;\colon\; \Bigl(a - \frac{b}{1 + \tfrac{b}{a}}\Bigr) = \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + 1{,}5\,y = 4,\\ 7x - 3y = 1. \end{cases} \]
   
   
5. Есть две песочные часы: одни отсчитывают 4 минуты, другие — 7 минут. Как можно с их помощью отмерить ровно 9 минут без предварительных приготовлений?
   
   
6. Поезд длиной \(L_{1} = 180\)м проезжает мимо столба за время \(t = 9\)с. За какое время он полностью проедет мост длиной \(L_{2} = 360\)м?
   
   
7. Первую треть пути автомобиль проехал со скоростью \(v = 50\)км/ч за половину всего времени движения. Какова его средняя скорость на всём пути?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{10}{28} \div \left(3 - \frac{19}{7}\right) \div \frac{\frac{4}{7} + \frac{2}{3}}{\frac{2}{5} + \frac{5}{7}} \cdot \frac{5}{9} \] Решение: Упростим шагами:
   1. Вычислим скобку: \[3 - \frac{19}{7} = \frac{21}{7} - \frac{19}{7} = \frac{2}{7}\]
   2. Разделим \(\frac{10}{28}\) на \(\frac{2}{7}\): \[\frac{10}{28} \div \frac{2}{7} = \frac{10}{28} \cdot \frac{7}{2} = \frac{5}{4}\]
   3. Суммируем дроби в числителе: \[\frac{4}{7} + \frac{2}{3} = \frac{12}{21} + \frac{14}{21} = \frac{26}{21}\]
   4. Суммируем дроби в знаменателе: \[\frac{2}{5} + \frac{5}{7} = \frac{14}{35} + \frac{25}{35} = \frac{39}{35}\]
   5. Делим полученные результаты: \[\frac{26}{21} \div \frac{39}{35} = \frac{26}{21} \cdot \frac{35}{39} = \frac{10}{9}\]
   6. Объединяем все части: \[\frac{5}{4} \div \frac{10}{9} \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{8}\]
   Ответ: \(\boxed{\frac{5}{8}}\)
2. Петя купил две книги. Первая книга на 75% дешевле второй. На сколько процентов вторая книга дороже первой?
   Решение: Пусть цена второй книги \(x\). Тогда цена первой книги составляет \(0,25x\). Разница между ними: \[x - 0,25x = 0,75x\] Процентное отношение разницы к цене первой книги: \[\frac{0,75x}{0,25x} \cdot 100% = 300\%\] Ответ: \(\boxed{300\%}\)
3. Вычислите: \[ \left(1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2\right) \div \left(a - \frac{b}{1 + \frac{b}{a}}\right) \] Решение: Упростим выражение:
   1. Числитель: \[1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2} = \frac{(a - b)(a + b)}{a^2}\]
   2. Знаменатель: \[a - \frac{b}{\frac{a + b}{a}} = a - \frac{ab}{a + b} = \frac{a^2}{a + b}\]
   3. Объединяем: \[\frac{(a - b)(a + b)}{a^2} \div \frac{a^2}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b)^2}{a^4}\]
   4. Подставляем \(a = 2021\), \(b = 2020\): \[\frac{(1)(4041)^2}{2021^4}\]
   Ответ: \(\boxed{\frac{(4041)^2}{(2021)^4}}\)
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + 1{,}5y = 4, \\ 7x - 3y = 1. \end{cases} \] Решение:
   1. Умножим первое уравнение на 2: \[2x + 3y = 8\]
   2. Сложим со вторым уравнением: \[2x + 3y + 7x - 3y = 8 + 1 \Rightarrow 9x = 9 \Rightarrow x = 1\]
   3. Подставляем \(x = 1\) в первое уравнение: \[1 + 1{,}5y = 4 \Rightarrow y = 2\]
   Ответ: \(\boxed{x = 1; \; y = 2}\)
5. Как отмерить 9 минут с помощью песочных часов на 4 и 7 минут?
   Решение:
   1. Запустить оба таймера.
   2. После окончания 4-минутных перевернуть их.
   3. Через 7 минут (окончание 7-минутных) перевернуть 4-минутные (остаток 1 минута).
   4. Засечь 1 минуту после переворота.
   5. Итого: 7 + (4 - 3) + 1 = 9 минут.
   Ответ: \(\boxed{\text{См. алгоритм}}\)
6. Поезд длиной 180 м проезжает столб за 9 с. Найдите время проезда моста 360 м.
   Решение:
   1. Скорость поезда: \[v = \frac{180\; м}{9\; с} = 20\; м/с\]
   2. Полный путь для моста: \[S = 180\; м + 360\; м = 540\; м\]
   3. Время проезда: \[t = \frac{540\; м}{20\; м/с} = 27\; с\]
   Ответ: \(\boxed{27\; с}\)
7. Средняя скорость автомобиля.
   Решение:
   1. Пусть общее время движения \(t\).
   2. На первую треть пути: \[\frac{S}{3} = 50\; \text{км/ч} \cdot \frac{t}{2} \Rightarrow S = 75t\]
   3. Средняя скорость: \[\frac{S}{t} = 75\; \text{км/ч}\]
   Ответ: \(\boxed{75\; \text{км/ч}}\)