ГБОУ РМ Республиканский лицей из 6 в 7 класс 2021

1. Вычислите без калькулятора: \[ \frac{6\cdot3{,}25\bigl(14\tfrac{4}{5} + \tfrac{4}{15}\bigr)\;-\;47} {\,7 \;-\; 1\tfrac{1}{10}\,} = \]
   
   
2. Сплав из меди и цинка массой 50 кг содержит 40% меди. Какое количество чистой меди нужно добавить, чтобы получить сплав, содержащий 75% меди?
   
   
3. Вычислите (без калькулятора) значение выражения при \(a=2021\) и \(b=2022\): \[ \frac{2a^2 + 2ab}{a^2 - b^2} \;\Big/\; \Bigl(\frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b}\Bigr) = \]
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 7,\\[6pt] \dfrac{x}{y} = 2. \end{cases} \]
   
   
5. В одном бидоне на 5 л молока больше, чем в другом. Если из первого бидона перелить во второй 8 л, то во втором бидоне станет в 2 раза больше молока, чем останется в первом. Сколько литров молока в каждом бидоне, если ёмкость каждого из них составляет:
   
   
   1. 25 литров;
   2. 50 литров.
   
   
   
6. Спортсмен половину пути пробежал со скоростью \(v_1 = 5\)м/с, после чего доехал до финиша на велосипеде со скоростью \(v_2 = 36\)км/ч. Считая его движение на каждом участке равномерным, определите время бега \(t_1\) (в минутах), если весь маршрут занял у спортсмена \(t = 2\) ч.
   
   
7. Поднимаясь по движущемуся со скоростью 0,75 м/с вверх эскалатору, человек насчитал 80 ступенек. Сколько ступенек он насчитает, спускаясь по этому же эскалатору, если скорость человека относительно эскалатора равна 1,5 м/с?

Решения задач

1. \[ \frac{6\cdot3{,}25\left(14\tfrac{4}{5} + \tfrac{4}{15}\right) - 47}{7 - 1\tfrac{1}{10}} \] Решение:
   Упростим выражения поэтапно:
   $6 \cdot 3,25 = 19,5$
   $14\tfrac{4}{5} = \frac{74}{5}$, $\tfrac{4}{15} = \frac{4}{15}$
   Сумма в скобках: $\frac{74}{5} + \frac{4}{15} = \frac{222 + 4}{15} = \frac{226}{15}$
   Умножение на 19,5: $19,5 \cdot \frac{226}{15} = \frac{39}{2} \cdot \frac{226}{15} = \frac{39 \cdot 226}{30} = \frac{8814}{30} = 293,8$
   Вычитаем 47: $293,8 - 47 = 246,8$
   Знаменатель: $7 - 1\tfrac{1}{10} = 7 - 1,1 = 5,9$
   Итог: $\frac{246,8}{5,9} = \frac{2468}{59} = 41\frac{49}{59}$.
   Ответ: $\boxed{41\frac{49}{59}}$.
   
   
2. Сплав массой 50 кг содержит $40\%$ меди. Нужно добавить $x$ кг меди для получения сплава с $75\%$ меди.
   Решение:
   Меди в начальном сплаве: $50 \cdot 0,4 = 20$ кг.
   После добавления: $(20 + x)$ кг меди в $(50 + x)$ кг сплава.
   Уравнение: $\frac{20 + x}{50 + x} = 0,75$
   $20 + x = 0,75(50 + x)$
   $20 + x = 37,5 + 0,75x$
   $0,25x = 17,5$
   $x = 70$ кг.
   Ответ: $\boxed{70}$ кг.
3. \[ \frac{2a^2 + 2ab}{a^2 - b^2} \bigg/ \left(\frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b}\right) \] Решение:
   Упростим числитель и знаменатель:
   Числитель: $\frac{2a(a + b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{2a}{a - b}$
   Знаменатель: $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b} = \frac{2a}{a^2 - b^2}$
   Деление: $\frac{2a}{a - b} \cdot \frac{a^2 - b^2}{2a} = a + b$.
   При $a=2021$, $b=2022$: $2021 + 2022 = 4043$.
   Ответ: $\boxed{4043}$.
4. Система уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 7 \\ \dfrac{x}{y} = 2 \end{cases} \] Решение:
   Из второго уравнения: $x = 2y$. Подставляем в первое:
   $\frac{2y}{3} + \frac{y}{2} = 7$
   Умножаем на 6: $4y + 3y = 42$
   $7y = 42 \Rightarrow y = 6$
   $x = 2y = 12$.
   Ответ: $\boxed{(12;\ 6)}$.
5. Пусть в первом бидоне $x$ л, во втором $x - 5$ л. После переливания:
   Первый бидон: $x - 8$, второй: $x - 5 + 8 = x + 3$.
   Уравнение: $x + 3 = 2(x - 8)$
   $x + 3 = 2x - 16$
   $x = 19$ л (первый), $19 - 5 = 14$ л (второй).
   Ёмкость бидонов 25 л или 50 л, что не влияет на решение.
   Ответ: $\boxed{19}$ л и $\boxed{14}$ л.
6. Пусть длина маршрута $S$. Половина пути: $\frac{S}{2}$.
   Время бега $t_1 = \frac{S/2}{5}$ м/с, на велосипеде $t_2 = \frac{S/2}{10}$ м/с.
   Общее время: $t_1 + t_2 = 2$ ч $= 7200$ с
   $\frac{S}{10} + \frac{S}{20} = 7200$
   $\frac{3S}{20} = 7200 \Rightarrow S = 48000$ м
   $t_1 = \frac{48000}{10} = 4800$ с $= 80$ минут.
   Ответ: $\boxed{80}$ минут.
7. При подъёме: скорость относительно земли $1,5 + 0,75 = 2,25$ м/с.
   Время подъёма: $\frac{L}{2,25}$, где $L$ — длина эскалатора.
   За это время человек насчитал $80$ ступенек:
   $L = 80 \cdot s$ ($s$ — длина ступеньки).
   При спуске: скорость относительно земли $1,5 - 0,75 = 0,75$ м/с.
   Время спуска: $\frac{L}{0,75} = \frac{80s}{0,75} = \frac{320s}{3}$.
   Количество ступенек: $\frac{1,5 \cdot 320s}{3} = 160$
   Учитывая движение эскалатора: $80 + (0,75 \cdot \frac{320}{3}) = 80 + 80 = 160$.
   Ответ: $\boxed{160}$ ступенек.