ГАОУ ТО ФМШ Тюмень из 4 в 5 класс 2020 год 2 тур

ГАОУ ТО «ФМШ»

2020

2 тур

1. Трое ФМШат играют в «Слова». Каждый записывает по сто слов. После этого записи сравнивают. Если слово встретилось у всех троих, за него дают 0 очков, если у двоих — каждый получает 1 очко, если у одного — он получает 4 очка. Может ли в результате один набрать 161, другой — 180, а третий — 286 очков?
2. Саша и Ваня играют в игру в квадрате \(8 \times 8\). Первый может своим ходом закрасить любую клетку квадрата. А второй может своим ходом закрасить любой уголок из трёх клеток. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто выиграет при правильной игре, если первым начинает Саша?

Решения задач

1. Трое ФМШат играют в «Слова». Каждый записывает по сто слов. После этого записи сравнивают. Если слово встретилось у всех троих, за него дают 0 очков, если у двоих — каждый получает 1 очко, если у одного – он получает 4 очка. Может ли в результате один набрать 161, другой – 180, а третий – 286 очков?
   Решение: Пусть $x$ — количество слов, написанных всеми тремя игроками, $y$ — слов, попавших ровно двум игрокам, $z$ — уникальных слов для каждого игрока. Заметим, что общее количество слов равно:
   $300 = 3x + 2y + z$ (каждое слово, общее для троих, учитывается трижды; для двоих — дважды и т.д.)
   Очки распределяются следующим образом: за слова, встречающиеся у двух игроков, суммарно начисляется $2y$ очков ($1+1$ за каждое такое слово), за уникальные слова — $4z$ очков. Значит, общее количество очков равно $2y + 4z$.
   По условию сумма очков равна $161 + 180 + 286 = 627$. Получаем уравнение:
   $2y + 4z = 627$
   Левая часть уравнения чётная ($2(y + 2z)$), а правая часть ($627$) нечётная. Это противоречие показывает, что такая ситуация невозможна.
   Ответ: Нет, не может.
2. Саша и Ваня играют в игру в квадрате $8 \times 8$. Первый может своим ходом закрасить любую клетку квадрата. А второй может своим ходом закрасить любой уголок из трёх клеток. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто выиграет при правильной игре, если первым начинает Саша?
   Решение: Заметим, что Ваня может после каждого хода Саши закрасить три клетки (уголок), обеспечивая симметрию. Количество клеток в поле — 64 (чётное). Саша тратит по 1 клетке за ход, Ваня — по 3. Каждая пара ходов уменьшает количество свободных клеток на $1 + 3 = 4$ (чётное число). Но Саша первый ход уменьшает количество клеток до 63 (нечётное). Ваня своим ходом уменьшает на 3 клетки до 60 (чётное). Далее Саша уменьшает до 59, Ваня — до 56 и т.д. В конечном итоге останется 0 клеток после хода Вани, что означает победу Вани. Таким образом, Ваня имеет стратегию, приводящую к победе.
   Ответ: Ваня.