ГАОУ ТО ФМШ Тюмень из 4 в 5 класс 2019 год вариант 1

ГАОУ ТО «ФМШ»

2019

Вариант 1

1. Решите задачу: Две верёвки разрезали на 2019 частей каждую. Сколько всего разрезов было сделано?
2. Определите чётность числа: \[ 20192019 \cdot 20182018 \;-\; 2018 : 2 \;+\; 201920192019 \cdot 2019 \;-\; 12345678. \]
3. Решите задачу: Из пунктов \(A\) и \(B\) навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Они должны были встретиться через 6 часов в пункте \(C\). Но через 2 часа после начала движения, когда между автомобилями было 628 км, машина, ехавшая из пункта \(B\), повернула обратно и, не изменяя скорости, вернулась в пункт \(B\), проехав при этом в общей сложности 296 км. Найдите расстояние от пункта \(A\) до пункта \(C\).
4. Решите задачу: На даче растут 56 кустов малины. Число ягод на двух соседних кустах отличается на 3. Может ли на всех кустах вместе быть 2019 ягод?
5. Решите задачу: Есть две непересекающиеся прямые, на каждой отмечено по 4 точки. Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно образовать?

Решения задач

1. Две верёвки разрезали на 2019 частей каждую. Сколько всего разрезов было сделано?
   Решение: Чтобы разрезать одну верёвку на $n$ частей, нужно сделать $(n - 1)$ разрез.
   Для каждой верёвки: $2019 - 1 = 2018$ разрезов.
   Всего разрезов: $2018 \cdot 2 = 4036$.
   Ответ: 4036.
2. Определите чётность числа: \[ 20192019 \cdot 20182018 \;-\; 2018 : 2 \;+\; 201920192019 \cdot 2019 \;-\; 12345678. \] Решение: Разложим каждое слагаемое по чётности:
   $20192019$ — нечётное, $20182018$ — чётное ↠ $20192019 \cdot 20182018$ — чётное.
   $2018 : 2 = 1009$ — нечётное.
   $201920192019$ — нечётное, $2019$ — нечётное ↠ $201920192019 \cdot 2019$ — нечётное.
   $12345678$ — чётное.
   Итог: чётное $-$ нечётное $+$ нечётное $-$ чётное = чётное.
   Ответ: чётное число.
3. Из пунктов \(A\) и \(B\) навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Они должны были встретиться через 6 часов в пункте \(C\). Но через 2 часа после начала движения, когда между автомобилями было 628 км, машина, ехавшая из пункта \(B\), повернула обратно и, не изменяя скорости, вернулась в пункт \(B\), проехав при этом в общей сложности 296 км. Найдите расстояние от пункта \(A\) до пункта \(C\).
   Решение: Обозначим скорость автомобиля из $A$ как $v_A$, из $B$ как $v_B$. Расстояние между $A$ и $B$ равно $(v_A + v_B) \cdot 6$.
   После 2 часов расстояние между автомобилями составило 628 км: $(v_A + v_B) \cdot (6 - 2) = 628$ ⇒ $v_A + v_B = \frac{628}{4} = 157$ км/ч.
   Автомобиль из $B$ вернулся в пункт $B$, проехав $296$ км за $2$ часа движения обратно: $4 v_B = 296$ ⇒ $v_B = 74$ км/ч.
   Тогда скорость автомобиля из $A$: $v_A = 157 - 74 = 83$ км/ч.
   Расстояние $AC$: $v_A \cdot 6 = 83 \cdot 6 = 498$ км.
   Ответ: 498 км.
4. На даче растут 56 кустов малины. Число ягод на двух соседних кустах отличается на 3. Может ли на всех кустах вместе быть 2019 ягод?
   Решение: Если разница между числами ягод на соседних кустах равна 3 (нечётное число), то их чётность чередуется.
   При 56 кустах (чётное количество) получим 28 кустов с чётным количеством ягод и 28 — с нечётным.
   Сумма чётного числа чётных и нечётных чисел будет чётной: $28 \cdot (\text{чёт} + \text{нечёт}) = 28 \cdot \text{нечёт} = \text{чётное число}$.
   2019 — нечётное ↠ невозможно.
   Ответ: Нет.
5. Есть две непересекающиеся прямые, на каждой отмечено по 4 точки. Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно образовать?
   Решение: Треугольник можно построить, если выбрать одну точку с одной прямой и две — с другой (или наоборот).
   Выберем 2 точки на первой прямой и 1 на второй: $\binom{4}{2} \cdot \binom{4}{1} = 6 \cdot 4 = 24$.
   Выберем 1 точку на первой прямой и 2 на второй: $\binom{4}{1} \cdot \binom{4}{2} = 4 \cdot 6 = 24$.
   Всего треугольников: $24 + 24 = 48$.
   Ответ: 48.