8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2019 год

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2019 год


Вариант ФМШ 2019-10-1



  1. Вычислите сумму ряда: \[ 3 + 12 + 21 + \dots + (n - 21) + (n - 12) + (n - 3) \quad \text{(Идея задачи: Николай Дмитриев, 8 класс, Москва).} \]

  2. Что такое многоугольник? Может ли многоугольник иметь бесконечное количество сторон? Если да, то будет ли в этом случае конечной или бесконечной его площадь? Если нет, то может ли тем не менее площадь многоугольника быть бесконечной? Ответы обосновать.

  3. Хомячок с 0 часов ночи до 6 часов утра бегает в колесе диаметром 18~см. Сделав пробежку продолжительностью 1–2~минуты, он отдыхает. Затем снова бежит и опять отдыхает. Время отдыха в 2–3~раза меньше, чем время только что сделанной пробежки. За одну пробежку колесо делает 60–80 полных оборотов, а каждые 3~км пробега хомячка дают 1~Вт·ч энергии. На сколько процентов за ночь хомячок сможет зарядить мобильный телефон, который полностью заряжается зарядным устройством с напряжением 5~В и средним током 1~А в течение 3~часов \[ (A = I \cdot U \cdot t). \]

  4. Часть графика линейной функции \[ y = kx + b \] вместе с осями координат образует треугольник. После уменьшения в 4~раза модуля коэффициента \(k\) площадь треугольника увеличилась. В каких пределах могло измениться значение \(b\)?

  5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не менее, чем на величину, лежащую между числом, кратным 4, и ближайшим к нему большим числом, кратным 2.

  6. Каждое новое значение времени (кроме первого и второго), выводимое электронными часами в формате ЧЧ:ММ (2 разряда для часов и 2 разряда для минут: от 00:00 до 23:59), отличается от предыдущего в 4~раза больше, чем предыдущее от предпредыдущего. Может ли возникнуть ситуация, когда стрелки обычных часов, показывающих ту же последовательность значений времени, вновь окажутся в некотором положении, которое занимали ранее? Если да, то найдите все случаи, в которых такое может случиться.

  7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{(x^4 - 1)\,(4 - x)^2}{(x^2 - 5x + 4)\,(1 - x)}} \;+\; \frac{(x + 2)\,(2x - 1)}{x\,(5 - x)} \;>\;0, \\[1em] \displaystyle \bigl(5 - 4x - x^6\bigr)\,\sqrt{x + 1}\,(7 - 2x) \;\le\;0. \end{cases} \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите сумму ряда: \[ 3 + 12 + 21 + \dots + (n - 21) + (n - 12) + (n - 3) \] Решение: Заметим, что ряд является арифметической прогрессией с первым членом \(a_1 = 3\) и разностью \(d = 9\). Последний член прогрессии \(a_k = n - 3\). Найдем количество членов: \[ a_k = a_1 + (k-1)d \implies n - 3 = 3 + (k-1) \cdot 9 \implies k = \frac{n - 6}{9} + 1 \] Сумма прогрессии: \[ S = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k = \frac{3 + (n - 3)}{2} \cdot \frac{n - 6 + 9}{9} = \frac{n}{2} \cdot \frac{n + 3}{9} = \frac{n(n + 3)}{18} \] Ответ: \(\frac{n(n + 3)}{18}\).

  2. Что такое многоугольник? Может ли многоугольник иметь бесконечное количество сторон? Если да, то будет ли в этом случае конечной или бесконечной его площадь? Если нет, то может ли тем не менее площадь многоугольника быть бесконечной? Ответы обосновать.
    Решение: Многоугольник — замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Согласно определению, многоугольник не может иметь бесконечное количество сторон. Если предположить существование такого многоугольника, его площадь может быть бесконечной (например, незамкнутая фигура). Однако для стандартного определения площадь конечного многоугольника всегда конечна.
    Ответ: Нет, не может. Площадь конечного многоугольника конечна.

  3. Хомячок с 0 часов ночи до 6 часов утра бегает в колесе диаметром 18~см. Сделав пробежку продолжительностью 1–2~минуты, он отдыхает. Затем снова бежит и опять отдыхает. Время отдыха в 2–3~раза меньше, чем время только что сделанной пробежки. За одну пробежку колесо делает 60–80 полных оборотов, а каждые 3~км пробега хомячка дают 1~Вт·ч энергии. На сколько процентов за ночь хомячок сможет зарядить мобильный телефон, который полностью заряжается зарядным устройством с напряжением 5~В и средним током 1~А в течение 3~часов \[ (A = I \cdot U \cdot t). \] Решение: Длина окружности колеса: \(L = \pi \cdot 0{,}18 \approx 0{,}5655\) м. За пробежку хомяк пробегает: \[ S_{\text{проб}} = 60 \cdot 0{,}5655 \approx 33{,}93 \text{ м (мин)} \quad \text{до} \quad 80 \cdot 0{,}5655 \approx 45{,}24 \text{ м (макс)}. \] За 6 часов (360 минут) максимальное число пробежек: \(\frac{360}{1 + 0{,}5} = 240\) циклов (1 мин бег + 0,5 мин отдых). Общий пробег: \[ S_{\text{общ}} = 240 \cdot 45{,}24 \approx 10857{,}6 \text{ м} \approx 10{,}86 \text{ км}. \] Энергия: \(E = \frac{10{,}86}{3} \approx 3{,}62\) Вт·ч. Емкость телефона: \(5 \cdot 1 \cdot 3 = 15\) Вт·ч. Процент заряда: \[ \frac{3{,}62}{15} \cdot 100% \approx 24{,}13\%. \] Ответ: \(\approx 24\%\).

  4. Часть графика линейной функции \[ y = kx + b \] вместе с осями координат образует треугольник. После уменьшения в 4~раза модуля коэффициента \(k\) площадь треугольника увеличилась. В каких пределах могло измениться значение \(b\)?
    Решение: Исходная площадь \(S = \frac{b^2}{2|k|}\). После изменения \(k' = \frac{k}{4}\) новая площадь \(S' = \frac{(b')^2}{2|k'|} = \frac{2(b')^2}{|k|}\). Условие \(S' > S\): \[ \frac{2(b')^2}{|k|} > \frac{b^2}{2|k|} \implies 4(b')^2 > b^2 \implies |b'| > \frac{|b|}{2}. \] Ответ: \(|b'| > \frac{|b|}{2}\).

  5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не менее, чем на величину, лежащую между числом, кратным 4, и ближайшим к нему большим числом, кратным 2.
    Решение: Условие: \(4k \le ||x| - |y|| < 4k + 2\) для \(k \in \mathbb{N}_0\). Графически — объединение полос между прямыми \(||x| - |y|| = 4k\) и \(||x| - |y|| = 4k + 2\).
    Ответ: Заштрихованные области между линиями \( | |x| - |y| | = 4k \) и \( | |x| - |y| | = 4k + 2 \) для \(k = 0, 1, 2, \dots\).

  6. Каждое новое значение времени (кроме первого и второго), выводимое электронными часами в формате ЧЧ:ММ (2 разряда для часов и 2 разряда для минут: от 00:00 до 23:59), отличается от предыдущего в 4~раза больше, чем предыдущее от предпредыдущего. Может ли возникнуть ситуация, когда стрелки обычных часов, показывающих ту же последовательность значений времени, вновь окажутся в некотором положении, которое занимали ранее? Если да, то найдите все случаи, в которых такое может случиться.
    Решение: Рассмотрим последовательность времен \(t_1, t_2, t_3, \dots\), где \(t_{n+2} - t_{n+1} = 4(t_{n+1} - t_n)\). Общее время цикла должно быть кратно 12 часам (период стрелок). Пример: \(t_1 = 00:00\), \(t_2 = 00:01\), \(t_3 = 00:05\), \(t_4 = 00:21\), \(t_5 = 01:25\), \(t_6 = 05:41\), \(t_7 = 22:45\), \(t_8 = 22:49\) (модуль 1440 минут). Через 8 шагов время повторяется, стрелки совпадают.
    Ответ: Да, например, последовательность 00:00 → 00:01 → 00:05 → … → 22:49 → 00:00.

  7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{(x^4 - 1)\,(4 - x)^2}{(x^2 - 5x + 4)\,(1 - x)}} \;+\; \frac{(x + 2)\,(2x - 1)}{x\,(5 - x)} \;>\;0, \\[1em] \displaystyle \bigl(5 - 4x - x^6\bigr)\,\sqrt{x + 1}\,(7 - 2x) \;\le\;0. \end{cases} \] Решение:
    1. ОДЗ первого неравенства: \(x \in (1, 4]\).
    2. Второе неравенство: \(x \in [1, 3{,}5]\).
    3. Пересечение: \(x \in (1, 3{,}5]\).
    4. Анализ первого неравенства на интервале: при \(x \in (1, 3{,}5]\) выражение \(\sqrt{\frac{(x^4 - 1)(4 - x)^2}{(x^2 - 5x + 4)(1 - x)}} + \frac{(x + 2)(2x - 1)}{x(5 - x)} > 0\) выполняется для всех \(x \in (1, 3{,}5]\).
    Ответ: \(x \in (1, 3{,}5]\).
Материалы школы Юайти