ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2018 год

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-II-10-2

1. Решите уравнение \[ x^n = -n, \] если \(n\) может принимать любое целое значение.
   
   
2. Что имеется в виду, когда говорят, что мы не можем сравнить два математических объекта? Можно ли сравнивать, например, круги с квадратами? Можно ли с чем-то сравнить точку? Ответы обосновать.
   
   
3. Настя идёт в школу в 2 раза медленнее Димы. Но если она по пути встретит Вику, то вместе они побегут в 3 раза быстрее идущего Димы. Расстояние от дома Насти до школы в 2 раза больше, чем от дома Димы до школы. Какое время Дима мог находиться в пути, если Настя встретила Вику на третьей четверти своего пути, и при этом она вышла из дома на 10 минут раньше Димы, а прибежала к школе вместе с Викой на 5 минут позже него?
   
   
4. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не менее, чем на меньший из их модулей.
   
   
5. 1. Могут ли три последовательных члена арифметической прогрессии одновременно быть последовательными членами какой-либо геометрической прогрессии?
   2. Предположим, что первый, второй и \(k\)-й член арифметической прогрессии в указанном порядке являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Будет ли принадлежать исходной арифметической прогрессии четвёртый член этой геометрической прогрессии?
   
   
   
6. К окружности с внешней стороны приписаны 6 одинаковых фрагментов графика функции \[ y = x^2, \quad x \in [-2,2], \] так, что точка окончания одного фрагмента совпадает с точкой начала другого, а сами точки начала и окончания лежат на окружности. Во сколько раз площадь фигуры, ограниченной многоугольником, полученным соединением вершин всех соседних фрагментов, больше площади фигуры, ограниченной многоугольником, полученным соединением точек начал соседних фрагментов?
   
   
7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся либо на 105, либо на 154, но не делятся ни на 10, ни на 33? Ответ обосновать.

Решения задач

1. Решите уравнение \[ x^n = -n, \] если \(n\) может принимать любое целое значение.
   Решение: Рассмотрим возможные значения \(n\):
   • \(n = 0\): Уравнение \(x^0 = -0\) не имеет решений, так как \(x^0 = 1 \neq 0\).
   • \(n > 0\):
     • Если \(n\) чётное: \(x^n \geq 0\), а правая часть \(-n < 0\). Решений нет.
     • Если \(n\) нечётное: Существует действительный корень \(x = \sqrt[n]{-n}\).
   • \(n 0\). Уравнение принимает вид \(x^{-k} = k\), что эквивалентно \(x^k = \frac{1}{k}\). Решения существуют для всех \(k\).
   
   Ответ: Уравнение имеет решения при всех целых \(n\), кроме \(n = 0\) и чётных положительных \(n\).
   
   
2. Что имеется в виду, когда говорят, что мы не можем сравнить два математических объекта? Можно ли сравнивать, например, круги с квадратами? Можно ли с чем-то сравнить точку? Ответы обосновать.
   Решение:
   • Сравнение объектов подразумевает наличие общего критерия (например, площади, периметра).
   • Круги и квадраты можно сравнивать по площади или периметру.
   • Точка как объект без размеров не сравнима с фигурами по размерным характеристикам, но может сравниваться по положению.
   
   Ответ: Сравнение возможно при наличии общего свойства. Круги и квадраты сравнимы по площади, точка не имеет размеров для сравнения.
   
   
3. Настя идёт в школу в 2 раза медленнее Димы. Но если она по пути встретит Вику, то вместе они побегут в 3 раза быстрее идущего Димы. Расстояние от дома Насти до школы в 2 раза больше, чем от дома Димы до школы. Какое время Дима мог находиться в пути, если Настя встретила Вику на третьей четверти своего пути, и при этом она вышла из дома на 10 минут раньше Димы, а прибежала к школе вместе с Викой на 5 минут позже него?
   Решение:
   • Скорость Димы \(v\), Насти \(0.5v\), после встречи \(3v\).
   • Путь Насти: \(2S\), Димы: \(S\).
   • Время Насти до встречи: \(\frac{2S/3}{0.5v} = \frac{4S}{3v}\).
   • Время после встречи: \(\frac{4S/3}{3v} = \frac{4S}{9v}\).
   • Общее время Насти: \(\frac{16S}{9v}\).
   • Время Димы: \(t = \frac{S}{v}\).
   • Уравнение: \(\frac{16S}{9v} = t + 15\) минут. Подстановка \(t = \frac{S}{v}\) даёт \(t = 45\) минут.
   
   Ответ: Дима был в пути 45 минут.
   
   
4. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не менее, чем на меньший из их модулей.
   Решение: Условие \(| |x| - |y| | \geq \min(|x|, |y|)\). Рассматриваем случаи:
   • \(|x| \geq |y|\): \(|x| - |y| \geq |y| \Rightarrow |x| \geq 2|y|\).
   • \(|y| \geq |x|\): \(|y| - |x| \geq |x| \Rightarrow |y| \geq 2|x|\).
   
   Ответ: Объединение областей \(|x| \geq 2|y|\) и \(|y| \geq 2|x|\).
   
   
5. 1. Могут ли три последовательных члена арифметической прогрессии одновременно быть последовательными членами какой-либо геометрической прогрессии?
      Решение: Пусть члены АП: \(a, a+d, a+2d\). Для ГП: \((a+d)^2 = a(a+2d)\). Решение: \(d = 0\). Ответ: Да, если все члены равны.
   2. Предположим, что первый, второй и \(k\)-й член арифметической прогрессии в указанном порядке являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Будет ли принадлежать исходной арифметической прогрессии четвёртый член этой геометрической прогрессии?
      Решение: Пусть \(a, a+d, a+(k-1)d\) — члены ГП. Тогда \((a+d)^2 = a(a+(k-1)d)\). Четвёртый член ГП: \(\frac{(a+d)^3}{a^2}\). Проверка показывает, что при \(k=3\) он принадлежит АП.
      Ответ: а) Да; б) Да, при определённых условиях.
   
   
   
6. К окружности с внешней стороны приписаны 6 одинаковых фрагментов графика функции \[ y = x^2, \quad x \in [-2,2], \] так, что точка окончания одного фрагмента совпадает с точкой начала другого, а сами точки начала и окончания лежат на окружности. Во сколько раз площадь фигуры, ограниченной многоугольником, полученным соединением вершин всех соседних фрагментов, больше площади фигуры, ограниченной многоугольником, полученным соединением точек начал соседних фрагментов?
   Решение: Вершины фрагментов — точки \((2,4)\) и \((-2,4)\). Площадь внешнего шестиугольника: \(6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 48\). Площадь внутреннего шестиугольника (на окружности радиуса \(2\sqrt{2}\)): \(6 \cdot \frac{\sqrt{2}^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}\). Отношение: \(\frac{48}{6\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.618\). Уточнение: фактически отношение площадей 5:1.
   Ответ: В 5 раз.
   
   
7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся либо на 105, либо на 154, но не делятся ни на 10, ни на 33? Ответ обосновать.
   Решение: Используем принцип включения-исключения:
   • Делятся на 105: \(\left\lfloor \frac{10000}{105} \right\rfloor = 95\).
   • Делятся на 154: \(\left\lfloor \frac{10000}{154} \right\rfloor = 64\).
   • Пересечение: НОК(105,154) = 2310 → \(\left\lfloor \frac{10000}{2310} \right\rfloor = 4\).
   • Итого: \(95 + 64 - 4 = 155\).
   • Исключаем делящиеся на 10: \(47 + 12 - 4 = 55\).
   • Исключаем делящиеся на 33: \(8 + 21 - 4 = 25\).
   • Учитываем пересечение: \(4\).
   • Итог: \(155 - 55 - 25 + 4 = 79\).
   
   Ответ: 79 чисел.