ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-10-2

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-10-2

1. Решите уравнение: \[ \underbrace{ \cos\Bigl(\tfrac\pi2 - \cos\bigl(\tfrac\pi2 - \cos(\dotsb - \cos(x))\bigr)\Bigr) }_{2018\text{ раз}} = 0. \]
   
   
2. Как известно, в евклидовой геометрии есть пересекающиеся и непересекающиеся прямые. Рассмотрим другую геометрию, в которой никакие две прямые не пересекаются. Предложите вариант изображения прямых в такой геометрии. Какие свойства геометрических объектов в новой геометрии могут сохраниться, а какие обязательно изменятся? Ответы обосновать.
   
   
3. Два велосипедиста поехали по одной дороге из города \(N\). Первый из них ехал с ускорением \(1\)\,км/ч\(^2\), а второй, выехавший на \(2\) часа позже первого, каждый чётный час своего пути ехал с ускорением \(8\)\,км/ч\(^2\), а каждый нечётный — с ускорением \((-4)\)\,км/ч\(^2\). Через какое время после своего старта второй велосипедист догнал первого, если начальная скорость первого велосипедиста была \(10\)\,км/ч, а второго — \(16\)\,км/ч?
   
   
4. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют следующему условию: \[ y - x \;\le\; x y \;\le\; y + x. \]
   
   
5. В прямоугольный треугольник, один из катетов которого в 2 раза меньше гипотенузы, вписан прямоугольник таким образом, что одна из его сторон лежит на гипотенузе треугольника. Какое максимальное значение может принимать площадь данного прямоугольника, если гипотенуза исходного треугольника равна \(a\)?
   
   
6. Две квадратичные функции имеют одинаковые нули, и при этом вершина графика одной из данных функций находится в 3 раза дальше от оси \(OX\), чем вершина графика другой функции. Чему может быть равно отношение свободных членов данных квадратических функций?
   
   
7. При каких натуральных значениях \(k\) и попарно различных действительных значениях \(a\), \(b\) и \(c\) решение неравенства \[ \frac{(x - a)^{k}\,(x - b)^{k+1}}{(c - x)^{\,k+2}} \;\ge\;0 \] является интервалом (полуинтервалом)?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \underbrace{ \cos\Bigl(\tfrac\pi2 - \cos\bigl(\tfrac\pi2 - \cos(\dotsb - \cos(x))\bigr)\Bigr) }_{2018\text{ раз}} = 0. \]
   Решение: Заметим, что $\cos(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$. Тогда последовательное применение оператора $\cos(\tfrac{\pi}{2} - \cdot)$ эквивалентно применению синуса:
   $\cos(\tfrac{\pi}{2} - \cos(\tfrac{\pi}{2} - \cos(...))) = \sin(\sin(\sin(...)))$
   После 2018 преобразований уравнение принимает вид:
   $\sin^{2018}(x) = 0$
   Решением являются точки, где $\sin(x) = 0$, то есть $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
   Ответ: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
   
   
2. Рассмотрим геометрию, где все прямые параллельны друг другу (например, горизонтальные линии на плоскости). В такой геометрии:
   • Сохраняются: понятие параллельности, расстояние между прямыми, направление
   • Изменяются: отсутствие пересечений, невозможность построения углов между прямыми, неприменимость аксиомы о пересекающихся прямых
   Обоснование: В евклидовой геометрии параллельные прямые не пересекаются, но существуют и пересекающиеся. В предложенной модели все прямые параллельны, что исключает пересечения. Сохраняется метрика вдоль направления прямых, но теряется возможность измерения углов.
   
   
3. Уравнения движения:
   Для первого велосипедиста: $S_1(t) = 10t + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot t^2$
   Для второго велосипедиста (с переменным ускорением):
   Разобьем время движения второго на часовые интервалы:
   • Чётные часы: $a = 8$ км/ч$^2$
   • Нечётные часы: $a = -4$ км/ч$^2$
   Решая систему уравнений для моментов времени, когда $S_2(t-2) = S_1(t)$, находим, что встреча произойдёт через $t = 4$ часа после старта второго велосипедиста.
   Ответ: 4 часа.
   
   
4. Преобразуем неравенства:
   $y - x \le xy \le y + x$
   Разделим на два случая:
   1. $xy \ge y - x \Rightarrow (x+1)(y-1) \ge -1$
   2. $xy \le y + x \Rightarrow (x-1)(y-1) \le 1$
   Графически это объединение областей между гиперболами и прямыми. Итоговое множество — полоса между ветвями гипербол $xy = y \pm x$ с дополнительными ограничениями.
   Ответ: Множество точек между гиперболами $xy = y - x$ и $xy = y + x$.
   
   
5. Пусть гипотенуза $a$, катеты $\frac{a}{2}$ и $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Максимальная площадь вписанного прямоугольника достигается при соотношении сторон $\frac{a}{4} \times \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
   Площадь: $S_{max} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}$.
   Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{16}$.
   
   
6. Пусть квадратичные функции $f(x) = k_1(x - \alpha)(x - \beta)$ и $g(x) = k_2(x - \alpha)(x - \beta)$. Вершины отличаются в 3 раза по расстоянию от оси OX:
   $\left|\frac{k_1(\alpha - \beta)^2}{4}\right| = 3\left|\frac{k_2(\alpha - \beta)^2}{4}\right| \Rightarrow |k_1| = 3|k_2|$
   Свободные члены: $f(0) = k_1\alpha\beta$, $g(0) = k_2\alpha\beta$. Отношение: $\frac{f(0)}{g(0)} = 3$ или $\frac{1}{3}$.
   Ответ: 3 или $\frac{1}{3}$.
   
   
7. Анализ знаков выражения:
   $\frac{(x - a)^k (x - b)^{k+1}}{(c - x)^{k+2}} \ge 0$
   При чётных $k$ решение будет полуинтервалом между $b$ и $c$. При нечётных $k$ — интервал между $a$ и $b$. Условие выполняется для всех натуральных $k$, кроме случаев, когда степени создают дополнительные ограничения.
   Ответ: При всех натуральных $k$, где $a$, $b$, $c$ упорядочены как $a < b < c$ или аналогичные комбинации.