ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-10-1
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2018 год
Вариант ФМШ 2018-10-1
- Решите уравнение:
\[
\underbrace{\sin\bigl(\pi - \sin\bigl(\pi - \sin(\dotsb(\pi - \sin x))\bigr)\bigr)}_{2018\text{ раз}} = 0.
\]
- Как известно, в евклидовой геометрии есть пересекающиеся и непересекающиеся прямые. Рассмотрим другую геометрию, в которой любые две прямые пересекаются. Предложите вариант изображения прямых в такой геометрии. Какие свойства геометрических объектов в новой геометрии могут сохраниться, а какие обязательно изменятся? Ответы обосновать.
- Два велосипедиста поехали по одной дороге из города \(N\). Первый из них ехал с ускорением \(1\)\,км/ч\(^2\), а второй, выехавший на 1 час позже первого, каждый чётный час своего пути ехал с ускорением \(6\)\,км/ч\(^2\), а каждый нечётный — с ускорением \((-2)\)\,км/ч\(^2\). Через какое время после своего старта второй велосипедист догнал первого, если начальная скорость первого велосипедиста была \(10\)\,км/ч, а второго — \(12\)\,км/ч?
- На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют следующему условию:
\[
y - x \;\le\; x y \;\le\; x + y.
\]
- В равносторонний треугольник вписан прямоугольник таким образом, что одна из его сторон лежит на основании треугольника. Какое максимальное значение может принимать площадь данного прямоугольника, если сторона исходного треугольника равна \(a\)?
- Две квадратичные функции имеют одинаковые нули, и при этом вершина графика одной из данных функций находится в 2 раза дальше от оси \(OX\), чем вершина графика другой функции. Чему может быть равно отношение свободных членов данных квадратических функций?
- При каких натуральных значениях \(k\) и попарно различных действительных значениях \(a\), \(b\) и \(c\) решение неравенства \[ \frac{(x - a)^{k}\,(x - b)^{k+1}}{(x - c)^{\,k+2}} \;\le\;0 \] является интервалом (полуинтервалом)?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение:
\[
\underbrace{\sin\bigl(\pi - \sin\bigl(\pi - \sin(\dotsb(\pi - \sin x))\bigr)\bigr)}_{2018\text{ раз}} = 0.
\]
Решение: Заметим, что $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$. Применяя это свойство последовательно 2018 раз (чётное количество), получим исходное выражение:
\[
\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ: $x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
- Рассмотрим геометрию на сфере, где "прямыми" являются большие круги. Любые два больших круга пересекаются в двух точках. Сохраняются понятия угла между прямыми и пересекаемости. Изменяются: сумма углов треугольника больше $180^\circ$, отсутствуют параллельные прямые.
Ответ: Пример — сферическая геометрия. Сохраняются углы, изменяются параллельность и сумма углов треугольника.
- Уравнение движения первого велосипедиста:
\[
S_1(t) = 10t + \frac{1}{2}t^2.
\]
Для второго велосипедиста (время $\tau = t - 1$):
\[
S_2(\tau) = 12\tau + \sum_{k=1}^{\tau} \left( (-1)^{k+1}2(k - \frac{1}{2})^2 + 3k^2 \right).
\]
Решая уравнение $S_1(t) = S_2(t - 1)$ численно, получаем $\tau \approx 3$ часа.
Ответ: Через 3 часа после старта второго.
- Разделим неравенство на два:
\[
\begin{cases}
y - x \le xy \\
xy \le x + y
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}
(x - 1)(y + 1) \ge -1 \\
(x - 1)(y - 1) \le 1
\end{cases}.
\]
Графически — пересечение областей между гиперболами. Ответ: Множество точек между гиперболами $(x-1)(y+1) \ge -1$ и $(x-1)(y-1) \le 1$.
- Пусть высота треугольника $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Ширина прямоугольника $x = a - \frac{2y}{\sqrt{3}}$. Площадь:
\[
S(y) = y\left(a - \frac{2y}{\sqrt{3}}\right) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{a\sqrt{3}}{4}, \quad S_{max} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8}.
\]
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$.
- Пусть функции $f(x) = a(x-p)(x-q)$ и $g(x) = b(x-p)(x-q)$. Расстояние от вершины до оси $OX$:
\[
\left|\frac{a(p-q)^2}{4}\right| = 2\left|\frac{b(p-q)^2}{4}\right| \quad \Rightarrow \quad |a| = 2|b|.
\]
Отношение свободных членов: $\frac{f(0)}{g(0)} = \frac{a}{b} = 2$ или $\frac{1}{2}$.
Ответ: 2 или $\frac{1}{2}$.
- Неравенство имеет вид: \[ \frac{(x-a)^k(x-b)^{k+1}}{(x-c)^{k+2}} \le 0. \] Решение — интервал при условии, что степени в числителе и знаменателе создают чётное количество перемен знака. Это выполняется при $k$ нечётном. Ответ: При нечётных $k \in \mathbb{N}$.
Материалы школы Юайти