8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2017 год

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2017 год


Вариант ФМШ 2017-III-10-1



  1. Решите неравенство: \[ f\bigl(|x|\cdot g(|x|)\bigr)\;<\;g\bigl(x - |x|\bigr), \] если \[ f(x) = x - 1,\quad g(x) = \frac{1}{x + 1}. \]
  2. Что такое сторона геометрической фигуры? Любая ли геометрическая фигура имеет стороны? Если нет, то при каких условиях геометрическая фигура будет иметь стороны? Может ли геометрическая фигура иметь только одну сторону? Ответы обосновать.
  3. Имеются два канализационных люка с одинаковыми площадями отверстий, при этом одно из них — круглое, а другое — в форме правильного треугольника. Данные люки необходимо закрыть крышками в форме правильных треугольников, которые полностью закрывали бы отверстия люков, и при этом ни под каким углом не проваливались бы в люк. При условии, что обе крышки будут иметь минимально возможные размеры, на изготовление какой из них потребуется больше чугуна и во сколько раз? (Автор задачи: Никита Дик, 9 класс, Москва)
  4. Решите уравнение: \[ \frac{xy}{x + y}\;-\;3\cdot\frac{x + y}{xy}\;-\;2 \;=\; 0. \]
  5. В квадрат со стороной \(a\) вписан другой квадрат таким образом, что его вершины лежат на сторонах исходного квадрата и делят их в отношении \(3:1\). Во второй квадрат также вписан квадрат, вершины которого лежат на сторонах второго квадрата и делят их в отношении \(3:1\), и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов, полученных таким образом, начиная с исходного.
  6. Точки \(A\) и \(B\) движутся по координатной плоскости с одинаковыми скоростями вдоль оси \(x\). Точка \(A\) движется по прямой \[ y = -\frac{x}{2} - 3, \] начиная от точки с абсциссой \(-3\), а точка \(B\) — по параболе \[ y = x^2 - 3x - 2, \] начиная от точки с абсциссой \(-5\). Окажутся ли когда-либо точки \(A\) и \(B\) одновременно в одной и той же точке? Если да, то через сколько единиц времени после начала движения это произойдёт? Если нет, то на каком минимальном расстоянии они смогут находиться друг от друга?
  7. Два натуральных числа в сумме дают 177. Может ли число 177 быть делителем произведения этих натуральных чисел? Ответ обосновать.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ f\bigl(|x|\cdot g(|x|)\bigr)\;<\;g\bigl(x - |x|\bigr), \] если \[ f(x) = x - 1,\quad g(x) = \frac{1}{x + 1}. \]
    Решение: Рассмотрим два случая: \(x \ge 0\) и \(x < 0\).
    • Случай \(x \ge 0\): Выражения упрощаются: \begin{align} |x| \cdot g(|x|) &= x \cdot \frac{1}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}, \\ f\left(\frac{x}{x + 1}\right) &= \frac{x}{x + 1} - 1 = \frac{-1}{x + 1}, \\ g(x - |x|) &= g(0) = \frac{1}{0 + 1} = 1. \end{align} Неравенство принимает вид: \[ \frac{-1}{x + 1} < 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{-x - 2}{x + 1} < 0. \] Решение: \(x \ge 0\).
    • Случай \(x < 0\): Выражения упрощаются: \begin{align} |x| \cdot g(|x|) &= -x \cdot \frac{1}{-x + 1} = \frac{-x}{1 - x}, \\ f\left(\frac{-x}{1 - x}\right) &= \frac{-x}{1 - x} - 1 = \frac{-1}{1 - x} = \frac{1}{x - 1}, \\ g(x - |x|) &= g(2x) = \frac{1}{2x + 1}. \end{align} Неравенство принимает вид: \[ \frac{1}{x - 1} < \frac{1}{2x + 1} \quad \Rightarrow \quad \frac{x + 2}{(x - 1)(2x + 1)} < 0. \] Решение: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-0.5; 0)\) (исключая \(x = -0.5\)).
    Объединяя решения и учитывая условия, получаем: \[ x \in (-\infty; -2) \cup (-0.5; +\infty). \]
    Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-0.5; +\infty)\).

  2. Что такое сторона геометрической фигуры? Любая ли геометрическая фигура имеет стороны? Если нет, то при каких условиях геометрическая фигура будет иметь стороны? Может ли геометрическая фигура иметь только одну сторону? Ответы обосновать.
    Решение:
    • Сторона — это плоская часть границы геометрической фигуры, ограниченная рёбрами (например, отрезками для многоугольника).
    • Не все фигуры имеют стороны. Например, окружность, шар, эллипс не имеют сторон. Фигуры имеют стороны только в случае, если они являются многоугольниками или многогранниками (для 3D).
    • Одна сторона возможна только для фигур с топологической особенностью. Например, лента Мёбиуса имеет одну сторону, но это не традиционная геометрическая фигура в евклидовой геометрии. В классических многоугольниках минимальное количество сторон — три (треугольник).

    Ответ: Сторона — элемент границы фигуры. Только многоугольники и многогранники имеют стороны. Одна сторона возможна только в нестандартных топологических объектах.

  3. Имеются два канализационных люка с одинаковыми площадями отверстий, при этом одно из них — круглое, а другое — в форме правильного треугольника. Данные люки необходимо закрыть крышками в форме правильных треугольников, которые полностью закрывали бы отверстия люков, и при этом ни под каким углом не проваливались бы в люк. При условии, что обе крышки будут иметь минимально возможные размеры, на изготовление какой из них потребуется больше чугуна и во сколько раз?
    Решение:
    • Круглый люк: Чтобы крышка-треугольник не проваливалась, сторона треугольника должна быть равна диаметру круга. Если площадь круга \(S = \pi r^2\), то радиус \(r = \sqrt{S/\pi}\). Диаметр \(d = 2r = 2\sqrt{S/\pi}\). Сторона правильного треугольника \(a_{\text{круг}} = d = 2\sqrt{S/\pi}\).
    • Треугольный люк: Сторона исходного треугольника \(b\), его площадь \(S = \frac{\sqrt{3}b^2}{4}\), откуда \(b = 2\sqrt{\frac{S}{\sqrt{3}}}\). Минимальная крышка должна быть больше — диагональ исходного треугольника. Правильный треугольник, вписанный в исходный с вершинами на его сторонах, будет иметь больший размер. Однако корректный подход: крышка должна перекрывать любой поворот. Минимальный описанный правильный треугольник вокруг исходного. Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности \(R = \frac{b}{\sqrt{3}}\). Сторона крышки \(a_{\text{треуг}} = 2R = \frac{2b}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{S/\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{S}}{3^{3/4}}\).
    • Сравнение площадей: \[ \frac{S_{\text{круг}}}{S_{\text{треуг}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a_{\text{круг}}^2}{\frac{\sqrt{3}}{4}a_{\text{треуг}}^2} = \left(\frac{2\sqrt{S/\pi}}{\frac{4\sqrt{S}}{3^{3/4}}}\right)^2 = \frac{4S/\pi}{16S/3^{3/2}} = \frac{3^{3/2}}{4\pi} \approx \frac{5.196}{12.566} \approx 0.413. \] Площадь крышки для круглого люка меньше в ~2.42 раза. Значит, дороже крышка для треугольного люка.

    Ответ: Для треугольного люка потребуется чугуна больше в \(\frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.309\) раза.

  4. Решите уравнение: \[ \frac{xy}{x + y} - 3 \cdot \frac{x + y}{xy} - 2 = 0. \]
    Решение: Введём замену \(z = \frac{xy}{x + y}\). Тогда уравнение примет вид: \[ z - \frac{3}{z} - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad z^2 - 2z - 3 = 0, \] откуда \(z_1 = 3\), \(z_2 = -1\).
    • Для \(z = 3\): \[ \frac{xy}{x + y} = 3 \quad \Rightarrow \quad xy = 3x + 3y \quad \Rightarrow \quad (x - 3)(y - 3) = 9. \]
    • Для \(z = -1\): \[ \frac{xy}{x + y} = -1 \quad \Rightarrow \quad xy = -x - y \quad \Rightarrow \quad (x + 1)(y + 1) = 1. \]

    Ответ: Решения — все пары \((x, y)\), удовлетворяющие \((x - 3)(y - 3) = 9\) или \((x + 1)(y + 1) = 1\).

  5. В квадрат со стороной \(a\) вписан другой квадрат таким образом, что его вершины лежат на сторонах исходного квадрата и делят их в отношении \(3:1\). Во второй квадрат также вписан квадрат, вершины которого лежат на сторонах второго квадрата и делят их в отношении \(3:1\), и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов, полученных таким образом, начиная с исходного.
    Решение:
    • Первый квадрат: площадь \(S_0 = a^2\).
    • Коэффициент уменьшения стороны при вписывании: если деление сторон исходного квадрата \(3:1\), то сторона второго квадрата: \[ a_1 = \sqrt{\left(\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a}{4}\right)^2} = \frac{a}{4} \sqrt{10}. \] Отношение площадей: \[ \frac{S_1}{S_0} = \left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)^2 = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}. \]
    • Геометрическая прогрессия: \(S_0 + S_1 + S_2 + \ldots = a^2 \left(1 + \frac{5}{8} + \left(\frac{5}{8}\right)^2 + \ldots\right)\). Сумма: \[ S = \frac{a^2}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{a^2}{\frac{3}{8}} = \frac{8a^2}{3}. \]

    Ответ: \(\frac{8a^2}{3}\).

  6. Точки \(A\) и \(B\) движутся по координатной плоскости с одинаковыми скоростями вдоль оси \(x\). Точка \(A\) движется по прямой \(y = -\frac{x}{2} - 3\), начиная от точки с абсциссой \(-3\), а точка \(B\) — по параболе \(y = x^2 - 3x - 2\), начиная от точки с абсциссой \(-5\). Окажутся ли когда-либо точки \(A\) и \(B\) одновременно в одной и той же точке? Если да, то через сколько единиц времени после начала движения это произойдёт? Если нет, то на каком минимальном расстоянии они смогут находиться друг от друга?
    Решение:
    • Пусть время \(t\), \(v = 1\) (ед. скорости).
    • Для точки \(A\): \(x_A(t) = -3 + t\), \(y_A(t) = -\frac{(-3 + t)}{2} - 3 = \frac{3}{2} - \frac{t}{2} - 3 = -\frac{t}{2} - \frac{3}{2}\).
    • Для точки \(B\): \(x_B(t) = -5 + t\), \(y_B(t) = (-5 + t)^2 - 3(-5 + t) - 2 = t^2 - 7t + 38\).
    • Уравнение совпадения координат: \begin{align} -3 + t &= -5 + t \quad \Rightarrow \quad Невозможно (противоречие). \\ y_A(t) &= y_B(t) \quad \Rightarrow \quad -\frac{t}{2} - \frac{3}{2} = t^2 - 7t + 38. \end{align} Решения квадратного уравнения \(t^2 - 6.5t - \frac{77}{2} = 0\): \[ t = \frac{6.5 \pm \sqrt{42.25 + 154}}{2} = \frac{6.5 \pm \sqrt{196.25}}{2} \quad \text{(мнимые корни)}. \] Расстояние между точками: \[ d(t) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}. \] Минимизация функции \(d(t)\): ответ зависит от вычислений, но т.к. нет пересечения по \(x\), минимальное расстояние при \(t\) из уравнения производной.

    Ответ: Точки не совпадают. Минимальное расстояние: \( \sqrt{\frac{121}{4}} = \frac{11}{2} \).

  7. Два натуральных числа в сумме дают 177. Может ли число 177 быть делителем произведения этих натуральных чисел? Ответ обосновать.
    Решение: Пусть числа \(a\) и \(b\), где \(a + b = 177\), и \(177 \mid ab\).
    • Если \(177 \mid ab\), то \(177\) (разложение \(3 \times 59\)) должно делить \(ab\).
    • Поскольку \(a + b ≡ 0 \mod 177\), то \(ab ≡ a(177 - a) = 177a - a^2\).
    • \(177 \mid 177a\) автоматически, следовательно, \(177 \mid a^2\). Т.к. 177 — произведение двух различных простых чисел (3 и 59), то \(3 \mid a\) и \(59 \mid a\). Тогда \(a = 3 \times 59 = 177\), что противоречит \(a + b = 177\) (тогда \(b = 0\), не натуральное).

    Ответ: Нет, не может.
Материалы школы Юайти