ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2017 год

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-II-10-2

1. Найдите ненулевые значения коэффициентов \(b\) и \(c\) квадратного уравнения \(x^2 + b x + c = 0\), при которых разность квадратов его корней в 3 раза меньше суммы квадратов его корней и в 2 раза меньше суммы его корней.
2. Что такое круговой сектор? Следует ли из равенства площадей различных круговых секторов равенство ограничивающих их дуг? Может ли фигура, состоящая из нескольких круговых секторов некоторых кругов, являться кругом? Ответы обосновать.
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют только одному из следующих условий:
   1. абсцисса не меньше ординаты;
   2. сумма квадратов абсциссы и ординаты больше четырёх;
   3. сумма абсциссы и ординаты меньше нуля.
4. На плоскости нарисован треугольник. Одна из его вершин начинает двигаться по прямой, параллельной основанию, до тех пор, пока проекция этой вершины не окажется в середине основания. Затем аналогично начинает двигаться вторая вершина, потом третья, затем снова первая и т.д. Всегда ли через какое-то время точки перестанут двигаться? Что можно сказать о треугольнике, который получится в момент остановки движения точек? Будет ли вид этого треугольника зависеть от вида исходного треугольника? Ответы обосновать.
5. При каких значениях \(a\), \(b\) и \(c\) система \[ \begin{cases} 2x - y + a z = 3,\\ b x - 2y + z = c \end{cases} \] не имеет решений?
6. Точка \(M(0;3)\) на координатной плоскости \(YOX\) делит отрезок \(AB\), находящийся в этой же плоскости, в отношении \(1:3\). Координата точки \(A\) по оси \(OX\) равна \(1\). Какой может быть длина отрезка \(MN\), если точка \(N\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(3:1\)?
7. Упростите выражение: \[ 1\cdot 3\cdot 4 \;+\; 2\cdot 6\cdot 8 \;+\; 3\cdot 9\cdot 12 \;+\;\dots+\; n\cdot(3n)\cdot(4n). \]

Решения задач

1. Найдите ненулевые значения коэффициентов \(b\) и \(c\) квадратного уравнения \(x^2 + b x + c = 0\), при которых разность квадратов его корней в 3 раза меньше суммы квадратов его корней и в 2 раза меньше суммы его корней. Решение: Пусть корни уравнения \(\alpha\) и \(\beta\). По теореме Виета: \[ \alpha + \beta = -b, \quad \alpha\beta = c \] Согласно условию: \[ \alpha^2 - \beta^2 = \frac{1}{3}(\alpha^2 + \beta^2) \quad \text{и} \quad \alpha^2 - \beta^2 = \frac{1}{2}(\alpha + \beta) \] Выразим суммы и разности через \(b\) и \(c\): \[ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = b^2 - 2c, \] \[ \alpha^2 - \beta^2 = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = (\alpha - \beta)(-b). \] Из второго условия: \[ (\alpha - \beta)(-b) = \frac{-b}{2} \implies \alpha - \beta = \frac{1}{2}. \] Дискриминант уравнения: \[ (\alpha - \beta)^2 = b^2 - 4c \implies \frac{1}{4} = b^2 - 4c \quad \text{(1)}. \] Из первого условия подставим \(\alpha - \beta = \frac{1}{2}\): \[ \frac{-b}{2} = \frac{1}{3}(b^2 - 2c) \implies -3b = 2b^2 - 4c \quad \text{(2)}. \] Из системы уравнений (1) и (2): \[ \begin{cases} b^2 - 4c = \frac{1}{4}, \\ 2b^2 + 3b - 4c = 0. \end{cases} \] Вычитая уравнения, получаем: \[ b^2 + 3b = -\frac{1}{4} \implies 4b^2 + 12b +1 = 0. \] Решая квадратное уравнение: \[ b = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 16}}{8} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{2}}{2}. \] Подставляя \(b\) в уравнение (1): \[ c = \frac{b^2 - \frac{1}{4}}{4} = \frac{17 \pm 12\sqrt{2} -1}{16} = \frac{4 \mp 3\sqrt{2}}{16}. \] Ненулевые решения: \[ b = \frac{-3 + 2\sqrt{2}}{2},\quad c = \frac{4 - 3\sqrt{2}}{16}; \quad \text{или} \quad b = \frac{-3 - 2\sqrt{2}}{2},\quad c = \frac{4 + 3\sqrt{2}}{16}. \] Ответ: \( b = \frac{-3 \pm 2\sqrt{2}}{2} \), \( c = \frac{4 \mp 3\sqrt{2}}{16} \).
   
   
2. Что такое круговой сектор? Следует ли из равенства площадей различных круговых секторов равенство ограничивающих их дуг? Может ли фигура, состоящая из нескольких круговых секторов некоторых кругов, являться кругом? Ответы обосновать. Решение:
   • Круговой сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.
   • Равенство площадей не влечет равенство дуг: площади зависят от радиусов и углов. Например, сектор угла \(60^\circ\) радиуса 2 имеет площадь \(\frac{\pi \cdot 2^2}{6} = \frac{2\pi}{3}\), а сектор угла \(120^\circ\) радиуса 1 — \(\frac{\pi \cdot 1^2}{3} = \frac{\pi}{3}\) (не равны). При равенстве площадей и разных радиусах дуги будут различаться.
   • Из нескольких секторов нельзя получить круг, так как круг — связная фигура, образованная всеми точками на заданном расстоянии от центра, а объединение секторов будет содержать разрывы или пересечения.
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют только одному из следующих условий:
   1. абсцисса не меньше ординаты;
   2. сумма квадратов абсциссы и ординаты больше четырёх;
   3. сумма абсциссы и ординаты меньше нуля.
   Решение: Изобразим множества:
   • \(x \geq y\) — полуплоскость выше прямой \(y = x\).
   • \(x^2 + y^2 > 4\) — внешность круга радиуса 2.
   • \(x + y < 0\) — полуплоскость ниже прямой \(x + y = 0\).
   Искомая область — точки, лежащие ровно в одной из этих трёх областей:
   • Внутри \(x + y 4\)).
   • Внутри круга \(x^2 + y^2 \leq 4\), но вне \(x + y \geq 0\).
   • Между прямыми \(y = x\) и \(x + y = 0\), но внутри круга.
   Графически это области, не пересекающиеся одновременно с другими.
4. На плоскости нарисован треугольник. Одна из его вершин начинает двигаться по прямой, параллельной основанию, до тех пор, пока проекция этой вершины не окажется в середине основания. Затем аналогично начинает двигаться вторая вершина, потом третья, затем снова первая и т.д. Всегда ли через какое-то время точки перестанут двигаться? Что можно сказать о треугольнике, который получится в момент остановки движения точек? Будет ли вид этого треугольника зависеть от вида исходного треугольника? Ответы обосновать. Решение:
   • Процесс остановится, так как последовательное смещение вершин к серединам приводит к уменьшению размера треугольника.
   • Конечный треугольник будет стремиться к точке (центр масс исходного треугольника).
   • Вид треугольника в пределе не зависит от исходного — все вершины сойдутся к одной точке.
5. При каких значениях \(a\), \(b\) и \(c\) система \[ \begin{cases} 2x - y + a z = 3,\\ b x - 2y + z = c \end{cases} \] не имеет решений? Решение: Система несовместна, если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Рассмотрим матрицы: \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & a \\ b & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2 & -1 & a & 3 \\ b & -2 & 1 & c \end{pmatrix} \] Определитель из первых двух столбцов: \[ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ b & -2 \end{vmatrix} = -4 + b. \] Если \(b \neq 4\), ранг основной матрицы 2. Расширенная матрица также имеет ранг 2 при любых \(c\), значит система имеет решение. Если \(b = 4\), то первая строка становится \(2x - y + az = 3\), вторая — \(4x -2y + z = c\). Умножим первую на 2: \(4x -2y + 2az = 6\). Вычтем вторую строку: \[ 4x -2y +2az - (4x -2y + z) = (2a - 1)z = 6 - c. \] Система несовместна, если \(2a - 1 = 0\) (т.е. \(a = \frac{1}{2}\)) и \(6 - c \neq 0\). Ответ: \(b = 4\), \(a = \frac{1}{2}\), \(c \neq 6\).
6. Точка \(M(0;3)\) на координатной плоскости \(YOX\) делит отрезок \(AB\), находящийся в этой же плоскости, в отношении \(1:3\). Координата точки \(A\) по оси \(OX\) равна \(1\). Какой может быть длина отрезка \(MN\), если точка \(N\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(3:1\)? Решение: Пусть \(A(1; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\). Точка \(M\) делит \(AB\) в отношении 1:3: \[ M\left(\frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot x_B}{4}, \frac{3y_A + y_B}{4}\right) = (0;3). \] Получаем: \[ 3 + x_B = 0 \cdot 4 \implies x_B = -3, \quad 3y_A + y_B = 12. \] Точка \(N\) делит \(AB\) в отношении 3:1: \[ N\left(\frac{3x_B + 1}{4}, \frac{3y_B + y_A}{4}\right) = \left(\frac{-9 + 1}{4}, \frac{3y_B + y_A}{4}\right) = (-2; \frac{3y_B + y_A}{4}). \] Из системы \(3y_A + y_B = 12\), выражаем \(y_B = 12 - 3y_A\). Подставляем в координаты \(N\): \[ y_N = \frac{3(12 - 3y_A) + y_A}{4} = \frac{36 -8y_A}{4} = 9 - 2y_A. \] Координаты \(M(0;3)\), \(N(-2;9 -2y_A)\). Длина: \[ MN = \sqrt{(0 + 2)^2 + (3 - (9 -2y_A))^2} = \sqrt{4 + (2y_A -6)^2}. \] Минимальное значение при \(2y_A -6 =0 \implies y_A =3\), тогда \(MN =2\). Максимум неограничен, но \(y_A\) может быть любым. Однако в задаче отсутствуют ограничения, следовательно, длина \(MN\) зависит от выбора \(y_A\) и может принимать любое значение на луче \([2; +\infty)\). Ответ: Длина \(MN\) не менее 2.
7. Упростите выражение: \[ 1\cdot 3\cdot 4 \;+\; 2\cdot 6\cdot 8 \;+\; 3\cdot 9\cdot 12 \;+\;\dots+\; n\cdot(3n)\cdot(4n). \] Решение: Преобразуем общий член ряда: \[ k \cdot 3k \cdot 4k = 12k^3. \] Сумма ряда: \[ 12\sum_{k=1}^n k^3 = 12\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = 3n^2(n+1)^2. \] Ответ: \(3n^2(n+1)^2\).