ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2017 год вариант

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-II-10-1

1. Найдите ненулевые значения коэффициентов \(b\) и \(c\) с квадратного уравнения \(x^2 + b x + c = 0\), при которых сумма квадратов его корней в 2 раза больше разности квадратов его корней и в 3 раза больше суммы его корней.
2. Что такое дуга окружности? Следует ли из равенства дуг окружностей равенство центральных углов, на которые опираются данные дуги? Может ли кривая, состоящая из нескольких дуг некоторых окружностей, также являться окружностью? Ответы обосновать.
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют только одному из следующих условий:
   1. абсцисса не больше ординаты;
   2. разность квадрата абсциссы и ординаты меньше четырёх;
   3. сумма абсциссы и ординаты больше нуля.
4. В окружность вписан треугольник. Одна из его вершин начинает двигаться по окружности до тех пор, пока площадь изменяющегося треугольника не станет максимально возможной. Затем аналогично начинает двигаться вторая вершина, потом третья, затем снова первая и т.д. Всегда ли через какое-то время точки перестанут двигаться? Что можно сказать о треугольнике, который получится в момент остановки движения точек? Будет ли вид этого треугольника зависеть от вида исходного треугольника? Ответы обосновать.
5. При каких значениях \(a\), \(b\) и \(c\) система \[ \begin{cases} 2x + a y + 3z = b,\\ x - 2y + c z = 2 \end{cases} \] не имеет решений?
6. Точка \(M(2;0)\) на координатной плоскости \(YOX\) делит отрезок \(AB\), находящийся в этой же плоскости, в отношении \(1:2\). Координата точки \(A\) по оси \(OX\) равна \(-1\). Какой может быть длина отрезка \(MN\), если точка \(N\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(2:1\)?
7. Упростите выражение: \[ 1\cdot 2\cdot 5 \;+\; 2\cdot 4\cdot 10 \;+\; 3\cdot 6\cdot 15 \;+\;\dots+\; n\cdot (2n)\cdot (5n). \]

Решения задач

1. Найдите ненулевые значения коэффициентов \(b\) и \(c\) квадратного уравнения \(x^2 + bx + c = 0\), при которых сумма квадратов его корней в 2 раза больше разности квадратов его корней и в 3 раза больше суммы его корней.
   Решение: Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\). Тогда по условию: \[ \begin{cases} x_1^2 + x_2^2 = 2|x_1^2 - x_2^2|, \\ x_1^2 + x_2^2 = 3(x_1 + x_2). \end{cases} \] По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -b\), \(x_1 x_2 = c\). Рассмотрим два случая для первого уравнения: Случай 1: \(x_1^2 + x_2^2 = 2(x_1^2 - x_2^2) \Rightarrow 3x_2^2 = x_1^2\). Подставим в выражение суммы квадратов через коэффициенты: \[ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = b^2 - 2c = -3b. \] Из второго условия \(b^2 - 2c = -3b \Rightarrow c = \frac{b^2 + 3b}{2}\). При \(3x_2^2 = x_1^2\) и \(x_1 + x_2 = -b\) получим систему: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -b, \\ 3x_2^2 - (-b - x_2)^2 = 0. \end{cases} \] Решая, находим \(x_2 = -\frac{b}{2}\), тогда \(c = -\frac{b^2}{12}\). Условие \(c ≠ 0\) дает \(b ≠ 0\), подставляя в \(c = \frac{b^2 + 3b}{2}\), получим \(b = -4\), \(c = 2\). Случай 2: \(x_1^2 + x_2^2 = 2(x_2^2 - x_1^2)\), аналогично приводит к \(b^2 - 2c = -3b\) и \(c = \frac{b^2 + 3b}{2}\). Решая, получим те же значения \(b = -4\), \(c = 2\). Ответ: \(b = -4\), \(c = 2\).
2. Что такое дуга окружности? Следует ли из равенства дуг окружностей равенство центральных углов, на которые опираются данные дуги? Может ли кривая, состоящая из нескольких дуг некоторых окружностей, также являться окружностью? Ответы обосновать.
   Ответ: 1. Дуга окружности — часть окружности, ограниченная двумя точками. 2. Если дуги равны и окружности имеют равные радиусы, то центральные углы равны. При разных радиусах равенство дуг не гарантирует равенство углов. 3. Да, если дуги являются секторами одной окружности с общими центрами и соединяются без разрывов. В противном случае — нет.
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих только одному из условий:
   1. абсцисса не больше ординаты (\(x \leq y\));
   2. \(x^2 - y < 4\);
   3. \(x + y > 0\).
   
   Решение: Области пересечений: - Зона \(x ≤ y\) — ниже/на прямой \(y = x\). - Зона \(y > x^2 - 4\) — выше параболы. - Зона \(x + y > 0\) — выше прямой \(y = -x\). Искомое множество: участки, принадлежащие только одной из трёх областей. Например: - Между параболой \(y = x^2 -4\) и прямой \(y = -x\) при \(x ≤ y\). - Ниже параболы и внутри \(x ≤ y\) при \(x + y ≤ 0\). Графический ответ требуется.
4. Вершины треугольника двигаются по окружности, максимизируя площадь. Определить, остановится ли движение, и вид итогового треугольника.
   Ответ: При движении вершины площадь стремится к максимуму, который достигается для правильного треугольника. Последовательно двигая вершины, процесс остановится на правильном треугольнике, независимо от исходного вида. Треугольник станет равноугольным.
5. При каких \(a\), \(b\), \(c\) система \[ \begin{cases} 2x + a y + 3z = b, \\ x - 2y + c z = 2 \end{cases} \] не имеет решений?
   Решение: Система несовместна, если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Основная матрица: \[ \begin{pmatrix} 2 & a & 3 \\ 1 & -2 & c \end{pmatrix} \] Ранг 2, если строки линейно независимы. Расширенная матрица: \[ \begin{pmatrix} 2 & a & 3 & b \\ 1 & -2 & c & 2 \end{pmatrix} \] Несовместность требует противоречия: коэффициенты пропорциональны, но свободные члены — нет. Решение: \(\frac{2}{1} = \frac{a}{-2} = \frac{3}{c} ≠ \frac{b}{2}\). Откуда \(a = -4\), \(c = \frac{3}{2}\), \(b ≠ 6\). Ответ: \(a = -4\), \(c = \frac{3}{2}\), \(b ≠ 6\).
6. Длина отрезка \(MN\), где \(M(2;0)\) делит \(AB\) в отношении \(1:2\), а \(N\) делит \(AB\) в отношении \(2:1\).
   Решение: Координаты точек. Пусть \(A(-1; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\). Используя формулу деления: \[ 2 = \frac{-1 \cdot 2 + x_B \cdot 1}{3} \Rightarrow x_B = 8. \] Аналогично для \(N\), которая делит \(AB\) в \(2:1\): \[ N\left(\frac{-1 \cdot 1 + 8 \cdot 2}{3}; \dots\right) = (5; y_N). \] Расстояние \(MN = \sqrt{(5 - 2)^2 + (y_N - 0)^2}\). Так как \(y_A\) и \(y_B\) могут быть любыми, минимальная длина \(MN\) достигается при \(y_M = y_N = 0\): \(MN = 3\). Ответ: \(MN = 3\) см (минимально возможная).
7. Упростите выражение: \[ 1\cdot2\cdot5 + 2\cdot4\cdot10 +\dots +n\cdot2n\cdot5n. \] Решение: Каждое слагаемое: \(k \cdot 2k \cdot 5k = 10k^3\). Сумма: \[ 10\sum_{k=1}^{n}k^3 = 10\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{5n^2(n+1)^2}{2}. \] Ответ: \(\frac{5n^2(n+1)^2}{2}\).