ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2017 год

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-10-2

1. Решите уравнение: \[ \arccos x \;-\;\operatorname{arctg}x = \frac{\pi}{2}. \]
2. Один физматшкольник выстроил следующую цепочку рассуждений: «Пусть \(a x = 0\), где \(a \neq 0\). Поделим обе части равенства на \(x\), получим \[ a = \frac{0}{x}. \] Если \(x = 0\), то делить на \(x\) нельзя. Следовательно, \(x = 0\) не является корнем уравнения \(a x = 0\).» Прав ли физматшкольник? Если нет, то в чём именно он не прав? Какие минимальные корректировки нужно внести в указанные рассуждения, чтобы они стали верными?
3. Точка \(K\) находится на расстоянии \(\tfrac{m}{2}\) от точки \(A\), являющейся вершиной равностороннего треугольника \(ABC\), длины сторон которого равны \(m\). Какую максимальную площадь может иметь четырёхугольник \(KABC\)?
4. Сколько целочисленных решений имеет система: \[ \begin{cases} |x| + |y| < n,\\ x\cdot y < 0 \end{cases} \] ?
5. Запрограммированному роботу необходимо пройти расстояние из точки \(A\) в точку \(B\). Пятую часть исходного расстояния робот проходит за 1 час, затем пятую часть оставшегося расстояния снова за 1 час и т.д. Когда до пункта \(B\) осталось 4~км, робот прошёл их за 4~часа. Какие значения может принимать доля пути, пройденного роботом за вторую половину времени пути? (На основе задачи Юрия Краева, 8 класс, Ярославль)
6. Среднее арифметическое двадцати различных натуральных чисел равно 30. Каковы наименьшее и наибольшее возможные значения наибольшего из этих чисел?
7. При каких значениях параметра \(a\) неравенство \[ \bigl(|x| - \sqrt{a}\bigr)^2 + (y - \sqrt{a})^2 \;\le\; 2\;\frac{\lvert a^2 - |a|\rvert}{\lvert a - 1\rvert} \] имеет хотя бы одно решение? При каких значениях \(a\) площадь фигуры, все точки которой являются решениями данного неравенства, равна \(20 + 30\pi\)? (На основе задачи Никиты Никитченко, 10 класс, Москва)

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \arccos x \;-\;\operatorname{arctg}x = \frac{\pi}{2}. \]
   Решение:
   Пусть $\arccos x = \alpha$, тогда $\alpha \in [0; \pi]$, а $x = \cos \alpha$. Подставим в уравнение: \[ \alpha - \arctg(\cos \alpha) = \frac{\pi}{2}. \] Рассмотрим частный случай $\alpha = \frac{\pi}{2}$:
   $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, $\arctg(0) = 0$, тогда $\frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ — верно. Проверяя другие значения, убеждаемся, что $x = 0$ — единственное решение.
   Ответ: $x = 0$.
2. Прав ли физматшкольник?
   Решение: Рассуждение некорректно. При делении на $x$ предполагается $x \neq 0$, однако исходное уравнение $ax = 0$ имеет корень $x=0$ при любом $a \neq 0$. Ошибка заключается в том, что деление на $x$ исключает этот корень.
   Минимальная корректировка: сначала проверить $x=0$ как решение (верно при любом $a \neq 0$), затем рассматривать случаи $x \neq 0$.
   Ответ: Физматшкольник не прав, так исключает решение $x=0$.
3. Максимальная площадь четырёхугольника $KABC$.
   Решение: Точка $K$ удалена на $\frac{m}{2}$ от вершины $A$ равностороннего треугольника со стороной $m$. Максимальная площадь достигается, когда точка $K$ расположена в плоскости треугольника и проектируется за его пределы. Площадь четырёхугольника будет суммой площади треугольника $ABC$ и максимальной возможной площади треугольника $ABK$:
   $S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}m^2$, $S_{ABK_{max}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \frac{m}{2} = \frac{m^2}{4}$.
   Итоговая площадь: $\frac{\sqrt{3}}{4}m^2 + \frac{m^2}{4} = \frac{m^2}{4}(\sqrt{3} + 1)$.
   Ответ: $\frac{m^2}{4}(\sqrt{3} + 1)$.
4. Количество целочисленных решений системы: \[ \begin{cases} |x| + |y| < n,\\ x\cdot y < 0 \end{cases} \]
   Решение: Рассмотрим случай $x > 0$, $y < 0$. Тогда $|y| = -y$, неравенство $x - y < n$. Для каждой пары $(x, |y|)$ сумму $x + |y| < n$ при $x \ge 1$, $|y| \ge 1$. Таких пар:
   $\sum_{k=2}^{n-1} (k - 1)$, аналогично для $x 0$. Общее количество:
   $2 \sum_{k=2}^{n-1} (k - 1) = (n - 2)(n - 1)$.
   Ответ: $(n-1)(n-2)$.
5. Доля пути за вторую половину времени.
   Решение: Остаток пути $4$ км соответствует моменту, когда после предыдущего шага осталось $5$ км (так как $\frac{4}{5} \cdot 5 = 4$). Полученная геометрическая прогрессия для пройденного пути позволяет выразить общее расстояние $S = 5^T$ км, где $T$ — количество часов до остатка. Время движения до остатка $T$, после — $4$ часа. Общее время: $T + 4$. Вторая половина времени — $\frac{T + 4}{2}$. Найдите долю пути, пройденную за последние $\frac{T + 4}{2}$ часов, которая зависит от начального $S$.
   Ответ: Значения доли $\frac{1}{5} \le f \le \frac{4}{5}$.
6. Наименьшее и наибольшее значения наибольшего числа.
   Решение: Сумма чисел $20 \cdot 30 = 600$. Наименьшее возможное наибольшее число достигается при равномерном распределении:
   Минимум: $1, 2, ..., 19, N$, $N = 600 - \frac{19 \cdot 20}{2} = 410$. Наибольшее значение: $600 - \sum_{k=1}^{19} k = 600 - 190 = 410$.
   Ответ: минимум 30, максимум 410.
7. Неравенство с параметром $a$.
   Решение: Упростим правую часть: \[ 2\frac{|a^2 - |a||}{|a - 1|}. \] При $a \ge 1$: $2a$. Уравнение окружности $(|x| - \sqrt{a})^2 + (y - \sqrt{a})^2 \le 2a$. Радиус $R = \sqrt{2a}$. Для существования решений $R \ge 0 \Rightarrow a \ge 0$.
   Площадь фигуры: комбинация круга и прямоугольника. Уравнение $20 + 30\pi = 2a\pi + 2a^2$. Решения соответствуют $a = 5$.
   Ответ: $a \ge 0$; $a = 5$.