ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2016 год вариант ФМШ 2016-III-10-1

ФМШ МИЭМ

2016 год

Вариант ФМШ 2016-III-10-1

1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 0,\\ \displaystyle \frac{x}{y} - \frac{y}{x} \le 0. \end{cases} \]
   
   
2. Что такое переместительный закон умножения? Справедлив ли переместительный закон для операций деления и возведения в степень? Ответы обосновать.
   
   
3. Вычислите без использования калькулятора: \[ 30^2 + 30\cdot35 + 2\cdot35^2 + 35\cdot40 + 2\cdot40^2 + 40\cdot45 + 2\cdot45^2 + 45\cdot50 + \dots + 2\cdot290^2 + 290\cdot295 + 2\cdot295^2 + 295\cdot300 + 300^2. \]
   
   
4. Центр окружности находится в центре квадрата. Какую часть диагонали данного квадрата должен составлять радиус этой окружности, чтобы она разделила данный квадрат на две части, площадь одной из которых в 3 раза больше другой?
   
   
5. В саду в улье живут правильные и неправильные пчёлы, которых в 3 раза больше, чем правильных. В день одна правильная пчела приносит в 3 раза больше нектара, чем 3 неправильные пчелы приносят за 3 дня. Сколько килограммов мёда получится из нектара, собранного всем ульем, если правильные пчёлы вместе принесли 27~кг нектара, и при этом мёд отличается от нектара тем, что в мёде $20\%$ массы составляет сухое вещество, а в нектаре — $60\%$?
   
   
6. В каких пределах может лежать разность между двумя рациональными числами, чтобы между ними находилось хотя бы одно рациональное число, которое можно представить в виде несократимой дроби со знаменателем $k$ для любого натурального $k$? Ответ обосновать.
   
   
7. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \lvert x - 2\rvert - \lvert 2x^2 - 8\rvert - 1 = 2a \] имеет три различных корня. (На основе задачи Марии Киселёвой, 8 класс, Воронеж.)
   
   

Решения задач

1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 0,\\ \displaystyle \frac{x}{y} - \frac{y}{x} \le 0. \end{cases} \]
   Решение: Преобразуем первое неравенство: \[ \frac{x^2 + y^2}{xy} \ge 0 \Rightarrow xy > 0 \text{ (так как }x^2 + y^2 > 0\text{ при }x,y \neq 0) \] Значит, точки лежат в I и III квадрантах (где знаки x и y совпадают).
   Второе неравенство преобразуем: \[ \frac{x^2 - y^2}{xy} \le 0 \Rightarrow \frac{(x - y)(x + y)}{xy} \le 0 \] Учитывая xy > 0, неравенство приводится к: \[ x^2 \le y^2 \Rightarrow |x| \le |y| \]
   Ответ: Объединение областей:
   • В I квадранте между прямыми y = x и y = -x (исключая оси)
   • В III квадранте между прямыми y = x и y = -x (исключая оси)
2. Что такое переместительный закон умножения? Справедлив ли переместительный закон для операций деления и возведения в степень? Ответы обосновать.
   Решение:
   • Переместительный закон умножения: $a \cdot b = b \cdot a$ для любых $a, b$.
   • Для деления не выполняется: $\frac{a}{b} \neq \frac{b}{a}$ при $a \neq b$ (например: $\frac{2}{4} = 0,5$ vs $\frac{4}{2}=2$).
   • Для возведения в степень не выполняется: $a^b \neq b^a$ при $a \neq b$ (например: $2^3 = 8$ vs $3^2 = 9$).
3. Вычислите без использования калькулятора: \[ 30^2 + 30\cdot35 + 2\cdot35^2 + 35\cdot40 + 2\cdot40^2 + 40\cdot45 + \dots + 2\cdot290^2 + 290\cdot295 + 2\cdot295^2 + 295\cdot300 + 300^2. \]
   Решение: Заметим закономерность для членов вида $2n^2 + n(n+5)$. Преобразуем: \[ 2n^2 + n(n+5) = 3n^2 + 5n \] Сумму можно разбить на два слагаемых: \[ 3\sum_{k=6}^{60}(5k)^2 + 5\sum_{k=6}^{60}5k \quad (k=6: n=30; k=60: n=300) \] Вычислим отдельно: \[ \sum_{n=30}^{300}3n^2 = 3\cdot\left(\frac{300\cdot301\cdot601}{6} - \frac{29\cdot30\cdot59}{6}\right) = 21985950 \] \[ \sum_{n=30}^{300}5n = 5\cdot\frac{(30+300)\cdot55}{2} = 5\cdot8525 = 42625 \] Итог: $21985950 + 42625 = 22028575$
   Ответ: 22028575.
4. Центр окружности находится в центре квадрата. Какую часть диагонали данного квадрата должен составлять радиус этой окружности, чтобы она разделила данный квадрат на две части, площадь одной из которых в 3 раза больше другой?
   Решение: Пусть сторона квадрата $a$, диагональ $d = a\sqrt{2}$, радиус окружности $R = kd/2$. Площадь сектора окружности в каждом квадранте должна составлять $1/4$ от общей разницы. Уравнение площади фигуры между окружностью и квадратом: \[ \frac{\pi R^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{a^2}{4} \Rightarrow \pi k^2\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 - a^2 = \frac{3a^2}{4} \] Решая относительно k, получаем: \[ k = \sqrt{\frac{7}{4\pi}} \]
   Ответ: $\sqrt{\frac{7}{4\pi}}$ части диагонали.
5. В саду в улье живут правильные и неправильные пчёлы, которых в 3 раза больше, чем правильных. В день одна правильная пчела приносит в 3 раза больше нектара, чем 3 неправильные пчелы приносят за 3 дня. Сколько килограммов мёда получится из нектара, собранного всем ульем, если правильные пчёлы вместе принесли 27~кг нектара, и при этом мёд отличается от нектара тем, что в мёде $20\%$ массы составляет сухое вещество, а в нектаре — $60\%$?
   Решение: Пусть правильных пчёл — $x$, тогда неправильных — $3x$. Продуктивность правильной пчелы: $3 \cdot (3v) \cdot 3 = 27v$ (где $v$ — производительность неправильной за день). Из условия: \[ 27x = 27 \text{ кг} \Rightarrow x = 1 \] Всего нектара: \[ 27 + \frac{27}{9} \cdot 3 \cdot 3 = 27 + 27 = 54 \text{ кг} \] Сухое вещество в нектаре: \[ 54 \cdot 0,6 = 32,4 \text{ кг} \] В меде: \[ 32,4 = 0,2m \Rightarrow m = 162 \text{ кг} \]
   Ответ: 162 кг.
6. В каких пределах может лежать разность между двумя рациональными числами, чтобы между ними находилось хотя бы одно рациональное число, которое можно представить в виде несократимой дроби со знаменателем $k$ для любого натурального $k$? Ответ обосновать.
   Решение: Для существования дроби $\frac{m}{k}$ между рациональными числами $a$ и $b$ необходимо выполнение неравенства: \[ |a - b| > \frac{1}{k} \] Так как $k$ — любое натуральное число, минимальная возможная разность стремится к нулю. Поэтому: \[ |a - b| > 0 \]
   Ответ: Разность между числами должна быть положительной: $a > b$ или $b > a$.
7. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \lvert x - 2\rvert - \lvert 2x^2 - 8\rvert - 1 = 2a \] имеет три различных корня.
   Решение: Преобразуем уравнение: \[ f(x) = |x - 2| - |2x^2 - 8| - 1 \] Исследуем график функции:
   • При $x \geq 2$: $f(x) = (x - 2) - (2x^2 - 8) - 1 = -2x^2 + x + 5$
   • При $x < 2$: $f(x) = (2 - x) - |2x^2 - 8| - 1$
   Анализ показывает три точки пересечения с горизонтальной прямой $2a$ при $a = -\frac{1}{2}$.
   Ответ: $a = -\frac{1}{2}$.