ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2016 год
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2016 год
Вариант ФМШ 2016-II-10-1
- Решите уравнение:
\[
x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0.
\]
- На координатной плоскости изобразите множество точек $(x,y)$, координаты которых удовлетворяют неравенству:
\[
y + \lvert y + 1 \rvert < x \cdot \lvert y + 1 \rvert.
\]
- Дан треугольник $AB_1B_2$. На прямой $B_1B_2$ отмечена точка $B_3$ так, что
\[|B_2B_3| = |B_1B_2| + 1.
\]
Затем на этой же прямой отмечена точка $B_4$ так, что
\[|B_3B_4| = |B_2B_3| + 1,
\]
точка $B_5$, что
\[|B_4B_5| = |B_3B_4| + 1,
\]
и т.д. Найдите сумму площадей треугольников
\[
AB_3B_4,\quad AB_5B_6,\quad AB_7B_8,\quad AB_9B_{10},\dots,\,AB_{97}B_{98},
\]
если известны площади треугольников $AB_1B_2$ и $AB_{99}B_{100}$. Единственное ли решение имеет данная задача? Ответ обосновать.
- Чайка $A$ взлетает с Земли с постоянной скоростью под углом к горизонту к вершине столба. Чайка $B$, находящаяся у подножия того же столба, взлетает с Земли одновременно с ней также под углом к горизонту и по направлению к траектории движения чайки $A$ с постоянной скоростью, в 2 раза меньшей скорости чайки $A$. Найдите синусы углов, под которыми взлетели чайки $A$ и $B$, если птицы столкнулись под прямым углом. Может ли чайка $B$ взлетать под другим углом, чтобы произошло столкновение? Если да, то сколько существует таких углов? (На основе задачи Вячеслава Лукьянчука, 10 класс, г. Пермь.)
- Что такое описанная окружность? Чему может быть равно отношение периметра фигуры, около которой описана окружность, к длине самой окружности? Ответ обосновать.
- Решите уравнение:
\[
4\sqrt[3]{(x+23)^2} + \sqrt[3]{(23 - x)^2} - 5\sqrt[3]{23^2 - x^2} = 0.
\]
- Сколько существует различных значений параметра $a$, при которых уравнение \[ \frac{(a x^2 + (a x)^2 + a^2 x)\,\bigl(\frac{x^2}{a} + (\tfrac{x}{a})^2 + \tfrac{x}{a^2}\bigr)\,a}{x} = \bigl(16 + \tfrac{a}{x}\bigr)\,x^2 \] имеет целочисленное решение? (На основе задачи Даниила Ермохина, 8 класс, г. Кимовск, Тульская обл.)
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение:
\[
x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0.
\]
Решение:
Выделим полные квадраты для переменных: \[ x^2 - 4x + y^2 + 2y = -4 \] \[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = -4 + 4 + 1 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1 \]
Получено уравнение окружности с центром в $(2; -1)$ и радиусом $1$.
Ответ: Окружность с центром $(2; -1)$, радиус $1$. - На координатной плоскости изобразите множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих неравенству:
\[
y + \lvert y + 1 \rvert < x \cdot \lvert y + 1 \rvert.
\]
Решение: Исследуем два случая:- Случай 1: $y + 1 \geq 0$ ($y \geq -1$). Тогда: \[\begin{aligned} y + y + 1 &< x(y + 1) \\ 2y + 1 & \frac{2y + 1}{y + 1} = 2 - \frac{1}{y + 1} \end{aligned}\]
- Случай 2: $y + 1 < 0$ ($y < -1$). Тогда: \[\begin{aligned} y - (y + 1) &< -x(y + 1) \\ -1 & x(y + 1) \end{aligned}\] Так как $y + 1 \frac{1}{y + 1}$.
Объединяя области, получаем: \[ \begin{cases} x > 2 - \frac{1}{y + 1} & \text{при } y \geq -1 \\ x > \frac{1}{y + 1} & \text{при } y < -1 \end{cases} \] Ответ: Объединение областей выше кривой $x = 2 - \frac{1}{y + 1}$ при $y \geq -1$ и области правее гиперболы $x = \frac{1}{y + 1}$ при $y < -1$. - Дан треугольник $AB_1B_2$ с точками $B_i$ на прямой. Площади треугольников $AB_1B_2$ и $AB_{99}B_{100}$ известны. Найти сумму площадей треугольников $AB_3B_4, AB_5B_6, \ldots, AB_{97}B_{98}$.
Решение: Длина отрезков $B_nB_{n+1}$ образует арифметическую прогрессию: $l_n = l_1 + (n - 1)$. Отрезки треугольников $AB_{k}B_{k+1}$ увеличиваются линейно, площади треугольников пропорциональны длине основания при постоянной высоте. Поэтому площади образуют арифметическую прогрессию: \[ S_n = S_1 + (n - 1)\Delta S \] Сумма площадей: \[ S = \sum_{k=1}^{49} S_{2k+1} = \frac{49}{2}(2S_1 + 48\Delta S) \] Но задача имеет неединственное решение, так как площади зависят от начальных данных.
Ответ: Сумма выражается через начальные площади и разность прогрессии. Решение неединственно из-за недостаточности данных. - Найдите синусы углов взлета чаек $A$ и $B$, столкнувшихся под прямым углом. Чайка $B$ может катапультироваться под двумя углами.
Решение: Пусть скорости чаек $v$ и $\frac{v}{2}$, углы $\alpha$ и $\beta$. Из условия столкновения: \[ \vec{v}_A \cdot \vec{v}_B = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = 0 \] Время полета $t$ до столкновения: \[ vt\cos\alpha = \frac{v}{2}t\cos\beta \quad\Rightarrow\quad 2\cos\alpha = \cos\beta \] Решая систему: \[ 2\cos\alpha \cdot cos\beta + 2\sin\alpha \sin\beta = 0 \] Получаем $\cos(\beta - \alpha) = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta - \alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
Ответ: $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin\beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Возможно два угла для чайки $B$. - Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. Отношение периметра фигуры к длине окружности может быть любым положительным числом.
Обоснование: Для правильных многоугольников отношение стремится к 1 при увеличении числа сторон. Пример: равносторонний треугольник $\frac{3a}{2\pi R}$ произвольной длины. - Решите уравнение:
\[
4\sqrt[3]{(x+23)^2} + \sqrt[3]{(23 - x)^2} - 5\sqrt[3]{23^2 - x^2} = 0.
\]
Решение: Пусть $a = \sqrt[3]{23 + x}$, $b = \sqrt[3]{23 - x}$. Тогда: \[ 4a^2 + b^2 - 5ab = 0 \quad\Rightarrow\quad (a - b)(4a - b) = 0 \]- $a = b \quad\Rightarrow\quad 23 + x = 23 - x \quad\Rightarrow\quad x = 0$.
- $4a = b \quad\Rightarrow\quad 4(23 + x)^{1/3} = (23 - x)^{1/3} \quad\Rightarrow\quad 64(23 + x) = 23 - x \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{1449}{65}$
- Уравнение с параметром $a$ и целочисленным решением:
После упрощения левой части: \[ (a x^2 + a^2 x^2 + a^2 x)\left(\frac{x^2}{a} + \frac{x^2}{a^2} + \frac{x}{a^2}\right)\frac{a}{x} \] Эквивалентно уравнению: \[ (a + a^2 + a^2 x^{-1}) \left(\frac{ x^3 + x^3/a + x}{a^2} \right) = 16 + \frac{a}{x} \] После сокращений и преобразований получаем целочисленные решения для $x = \pm1, \pm2, \pm4, \pm8$ с соответствующими значениями $a = 16, 8, 4, 2, ...$.
Ответ: Существует 12 различных значений параметра $a$.
Материалы школы Юайти