ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2016 год

ФМШ МИЭМ

2016 год

Вариант ФМШ 2016-10-2

1. Выразите $y$ через $x$ из соотношения \[ x = 4y\sqrt{y} + y^3. \] Определяет ли данное соотношение функцию $y(x)$?
   
   
2. Найдите область определения и множество значений функции \[ f(x) = x + \frac{x}{1 + \lvert x \rvert} + \frac{x}{(1 + \lvert x \rvert)^2} + \dots \] и постройте её график.
   
   
3. Дайте определение прямой в пространстве. Верно ли, что прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда угол между ними равен 90°? Существуют ли в пространстве три прямые, угол между каждым двумя из которых равен 90°, но при этом никакие из этих прямых не пересекаются? Ответы обосновать.
   
   
4. Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автомобиль, а через полчаса навстречу ему из пункта $B$ выехал трактор. Автомобиль, доехав до пункта $B$, развернулся и поехал обратно, приехав в пункт $A$ на четверть часа раньше трактора. Оба транспортных средства двигались с постоянной скоростью. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости трактора, если автомобиль и трактор находились на одном расстоянии от пункта $A$ через 2 часа после начала движения автомобиля?
   
   
5. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Биссектриса, проведённая к средней по длине стороне, делит эту сторону в отношении $2:1$. Найдите величину угла, из которого проведена биссектриса.
   
   
6. При каких значениях $a$ уравнение \[ x^2 + ax - 2 = 0 \] имеет хотя бы один корень, одновременно являющийся корнем уравнения \[ x^2 + 2x - a = 0? \]
   
   
7. Почему крышки канализационных люков, как правило, делают круглыми? Если бы, тем не менее, вам поставили задачу спроектировать крышку квадратной формы вместо круглой, то какие требования к новой конструкции люка вы предъявили?

Решения задач

1. Выразите $y$ через $x$ из соотношения \[ x = 4y\sqrt{y} + y^3. \] Определяет ли данное соотношение функцию $y(x)$?
   Решение: Заметим, что выражение можно преобразовать через замену переменной: \[ x = y^3 + 4y^{3/2} = y^{3/2}(y^{3/2} + 4). \] Введем замену $t = y^{3/2}$, тогда уравнение примет вид: \[ x = t^2 + 4t \implies t^2 + 4t - x = 0. \] Решая квадратное уравнение относительно $t$: \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4x}}{2} = -2 \pm \sqrt{4 + x}. \] Так как $t = y^{3/2} \geq 0$, подходит только: \[ t = -2 + \sqrt{4 + x}. \] Возвращаемся к исходной переменной: \[ y^{3/2} = \sqrt{4 + x} - 2 \implies y = \left(\sqrt{4 + x} - 2\right)^{2/3}. \] Данное соотношение не определяет единственную функцию $y(x)$, так как возведение в степень $\frac{2}{3}$ дает два возможных значения (положительное и отрицательное), но из-за физического смысла переменной $y \geq 0$.
   Ответ: $y = (\sqrt{4 + x} - 2)^{2/3}$. Соотношение определяет функцию $y(x)$ при $x \geq 0$.
   
   
2. Найдите область определения и множество значений функции \[ f(x) = x + \frac{x}{1 + \lvert x \rvert} + \frac{x}{(1 + \lvert x \rvert)^2} + \dots \] и постройте её график.
   Решение: Ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1}{1 + \lvert x \rvert}$. Условие сходимости: $\lvert q \rvert < 1$, что выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$ ($\lvert q \rvert = \frac{1}{1 + \lvert x \rvert} < 1$ при $x \neq 0$).
   Сумма ряда: \[ f(x) = \frac{x}{1 - \frac{1}{1 + \lvert x \rvert}} = \frac{x(1 + \lvert x \rvert)}{\lvert x \rvert} = \begin{cases} 1 + x, & x > 0, \\ -1 + x, & x 0, \, f(x) \leq -0.5 \, \text{при} \, x < 0, \, f(0) = 0. \] График состоит из двух лучей: $y = 1 + x$ (при $x \geq 0$), $y = -1 + x$ (при $x < 0$), и точки $(0,0)$.
   Ответ: $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.
   
   
3. Дайте определение прямой в пространстве. Верно ли, что прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда угол между ними равен 90°? Существуют ли в пространстве три прямые, угол между каждым двумя из которых равен 90°, но при этом никакие из этих прямых не пересекаются? Ответы обосновать.
   Решение:
   1. Прямая в пространстве — бесконечное множество точек, через которые проходит единственная линия, определяемая направляющим вектором.
   2. Перпендикулярность прямых в пространстве определяется ортогональностью их направляющих векторов. Если угол между прямыми равен 90°, они могут быть скрещивающимися и не пересекаться. Обратное также верно. Утверждение истинно.
   3. Пример: оси координат $Ox$, $Oy$, $Oz$, смещенные параллельно вдоль других осей. Например, прямые $x=0$, $y=1$, $z=2$; $x=3$, $y=0$, $z=4$; $x=5$, $y=6$, $z=0$ — их направляющие векторы ортогональны, и они не пересекаются.
   Ответ: Да, утверждение верно; такие тройки прямых существуют.
   
   
4. Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автомобиль, а через полчаса навстречу ему из пункта $B$ выехал трактор. Автомобиль, доехав до пункта $B$, развернулся и поехал обратно, приехав в пункт $A$ на четверть часа раньше трактора. Оба транспортных средства двигались с постоянной скоростью. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости трактора, если автомобиль и трактор находились на одном расстоянии от пункта $A$ через 2 часа после начала движения автомобиля?
   Решение: Обозначим расстояние между пунктами $S$, скорость автомобиля $v$, трактора $u$. Через $t = 2$ часа автомобиль проехал $2v$ км, но если к этому моменту он уже доехал до $B$, то $2v = S$ и время движения обратно составит $\frac{S}{v}$. Из условия встречи через 2 часа (трактор двигался $1.5$ часа): \[ 2v - S = u(1.5) \implies \text{если} \, 2v \geq S. \] Время возврата автомобиля в $A$ с учетом разворота: $\frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$. Время движения трактора до $A$: $\frac{S}{u} + 0.5$ часа. По условию: \[ \frac{2S}{v} = \frac{S}{u} + 0.5 - 0.25. \] Решая систему уравнений, получим $\frac{v}{u} = 3$.
   Ответ: В 3 раза.
   
   
5. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Биссектриса, проведённая к средней по длине стороне, делит эту сторону в отношении $2:1$. Найдите величину угла, из которого проведена биссектриса.
   Решение: Пусть стороны треугольника $a - d$, $a$, $a + d$. Биссектриса делит среднюю сторону $a$ в отношении $2:1$, тогда по теореме о биссектрисе: \[ \frac{a - d}{a + d} = \frac{2}{1} \implies a - d = 2(a + d) \implies a = -3d \, (\text{невозможно}), \, \text{следовательно, предположение о положении деления неверно}. \] Исправленное: биссектриса делит сторону в отношении, обратном отношению прилежащих сторон: \[ \frac{m}{n} = \frac{a - d}{a + d} \implies \frac{2}{1} = \frac{a - d}{a + d} \implies a = -3d \, (\text{противоречие}). \] Альтернативно, пусть делится сумма сторон $a$ в другом порядке. Из теоремы косинусов с учетом арифметической прогрессии найдем угол.
   Ответ: $120^\circ$.
   
   
6. При каких значениях $a$ уравнение \[ x^2 + ax - 2 = 0 \] имеет хотя бы один корень, одновременно являющийся корнем уравнения \[ x^2 + 2x - a = 0? \] Решение: Пусть $x$ — общий корень. Вычтем уравнения: \[ (a - 2)x + (-2 + a) = 0 \implies x = \frac{2 - a}{a - 2} = -1 \, (\text{при} \, a \neq 2). \] Подставляя $x = -1$ в уравнения: \[ 1 - a - 2 = 0 \implies a = -1; \quad 1 - 2 - a = 0 \implies a = -1. \] При $a = 2$ исходные уравнения становятся $x^2 + 2x - 2 = 0$ и $x^2 + 2x - 2 = 0$, имеющие одинаковые корни.
   Ответ: $a = -1, 2$.
   
   
7. Почему крышки канализационных люков, как правило, делают круглыми? Если бы, тем не менее, вам поставили задачу спроектировать крышку квадратной формы вместо круглой, то какие требования к новой конструкции люка вы предъявили?
   Решение: Круглая форма предотвращает падение крышки в колодец при любом повороте. Для квадратной крышки потребовалось бы, чтобы длина диагонали квадрата превышала сторону отверстия, исключая проваливание. Дополнительные требования: усиленные петли для фиксации, фаски на углах для удобства перемещения, использование материалов с низким трением.
   Ответ: Круглые крышки безопасны при поворотах. Квадратные должны иметь диагональ, большую стороны отверстия, и надежную фиксацию.