ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2016 год вариант ФМШ 2016-10-1
СкачатьПечать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2016 год
Вариант ФМШ 2016-10-1
- Выразите $y$ через $x$ из соотношения
\[
x = 2y\sqrt{y} + y^3.
\]
Определяет ли данное соотношение функцию $y(x)$?
- Найдите область определения и множество значений функции
\[
f(x) = x^2 + \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} + \dots
\]
и постройте её график.
- Дайте определение параллельных прямых в пространстве. Можно ли дать такое определение параллельных прямых в пространстве: прямые параллельны, если во всех плоскостях, содержащих обе данные прямые, эти прямые не пересекаются? Существуют ли в пространстве три прямые, никакие две из которых не параллельны и не пересекаются? Ответы обосновать.
- Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автомобиль, а через четверть часа навстречу ему из пункта $B$ выехал трактор. Автомобиль, доехав до пункта $B$, развернулся и поехал обратно, приехав в пункт $A$ на полчаса раньше трактора. Оба транспортных средства двигались с постоянной скоростью. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости трактора, если автомобиль и трактор находились на одном расстоянии от пункта $A$ через 2 часа после начала движения автомобиля?
- Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Биссектриса, проведённая к большей стороне, делит эту сторону в отношении $2:3$. Найдите величину угла, из которого проведена биссектриса.
- При каких значениях $a$ уравнение
\[
x^2 + ax - 1 = 0
\]
имеет хотя бы один корень, одновременно являющийся корнем уравнения
\[
x^2 + x - a = 0?
\]
- Почему крышки канализационных люков, как правило, делают круглыми? Если бы, тем не менее, вам поставили задачу спроектировать крышку в форме правильного треугольника вместо круглой, то какие требования к новой конструкции люка вы предъявили?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Выразите $y$ через $x$ из соотношения
\[
x = 2y\sqrt{y} + y^3.
\]
Определяет ли данное соотношение функцию $y(x)$?
Решение: Сделаем замену $t = \sqrt{y}$, тогда $y = t^2$. Подставляем в уравнение:
\[
x = 2t^2 \cdot t + t^6 = 2t^3 + t^6
\]
Обозначим $z = t^3$, тогда уравнение примет вид:
\[
z^2 + 2z - x = 0
\]
Решая квадратное уравнение для $z$:
\[
z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4x}}{2} = -1 \pm \sqrt{1 + x}
\]
Так как $z = t^3 \geq 0$ (ведь $y \geq 0$), принимаем только положительный корень:
\[
z = -1 + \sqrt{1 + x}
\]
Возвращаясь к исходным переменным:
\[
t = \sqrt[3]{-1 + \sqrt{1 + x}}, \quad y = t^2 = \left(-1 + \sqrt{1 + x}\right)^{2/3}
\]
Область существования: $-1 + \sqrt{1 + x} \geq 0 \implies \sqrt{1 + x} \geq 1 \implies x \geq 0$
Ответ: Соотношение определяет функцию $y(x)= \left(-1 + \sqrt{1 + x}\right)^{2/3}$ для $x \geq 0$.
- Найдите область определения и множество значений функции
\[
f(x) = x^2 + \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} + \dots
\]
Решение: Ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом $a = x^2$ и знаменателем $q = \frac{1}{1 + x^2}$. Сумма ряда:
\[
f(x) = \frac{a}{1 - q} = \frac{x^2}{1 - \frac{1}{1 + x^2}} = \frac{x^2(1 + x^2)}{x^2} = 1 + x^2
\]
Область определения: $\mathbb{R}$,
Множество значений: $f(x) \geq 1$ Графиком является парабола $y = x^2 + 1$, сдвинутая вверх на 1. Ответ: $D(f) = \mathbb{R},\ E(f) = [1, +\infty)$.
- Определение параллельных прямых в пространстве: прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Предложенное определение некорректно, так как существуют скрещивающиеся прямые, не лежащие в одной плоскости. Ответ на второй вопрос: да, например, три попарно скрещивающиеся прямые.
Ответ: Определение некорректно. Три такие прямые существуют.
- Пусть $V$ — скорость автомобиля, $v$ — скорость трактора, $S$ — расстояние между пунктами. Составим уравнения:
\[
\begin{cases}
2V + 1.75v = S \\
\frac{S}{V} + \frac{S}{V} = \frac{S}{v} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}
\end{cases}
\]
Решая уравнения, получаем отношение $\frac{V}{v} = 3$.
Ответ: В 3 раза.
- Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию: $2d$, $3d$, $4d$. По свойству биссектрисы делящей сторону $4d$ в отношении $2:3$:
\[
\frac{b}{c} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = -\frac{1}{4}
\]
Угол против стороны $4d$ равен $\arccos(-\frac{1}{4}) \approx 104.48^\circ$.
Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right)$.
- Подставим общий корень $x$ в оба уравнения:
\[
\begin{cases}
x^2 + ax -1 = 0 \\
x^2 + x -a = 0
\end{cases}
\]
Вычитая уравнения: $(a-1)x + (a-1) = 0 \Rightarrow a = 1$ или $x = -1$. При $x = -1$ получаем $a = -2$.
Ответ: $a = 1$ или $a = -2$.
- Круглая форма предотвращает падение крышки в люк. Требования к треугольной крышке:
1. Центр массы должен совпадать с геометрическим центром
2. Уравновешенность в любом положении
3. Диаметр минимальной описанной окружности должен превышать диаметр люка.
Материалы школы Юайти