ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2015 год вариант ФМШ 2015-III-10-2
СкачатьПечать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2015 год
Вариант ФМШ 2015-III-10-2
- Заполните пустые квадратики пропущенными числами и решите получившееся уравнение:
\[
(x - 1) + (4\cdot x - \square) + (7\cdot x - 5) + (10\cdot x - 7) + \dots + (\square\cdot x - 99)
= 49\cdot25.
\]
- Постройте график функции:
\[
f(x) = \frac{3x^2 - 12x + 11}{4x - x^2 - 4}.
\]
- В одном из материалов на сайте Бейкерсфилдского колледжа\textsuperscript{\dag} приводится следующее определение:
\emph{«A function $g$ is said to be even, provided that $g(-x) = g(x)$, for all $x$.»}
Согласны ли Вы с ним? Существуют ли объекты, которые не подпадают под данное определение, но, тем не менее,
должны относиться к определяемому классу объектов? Ответы обосновать.
- Одним из самых солёных водоёмов на Земле является Мёртвое море.
Его солёность — не менее 300\permil, объём — около 150~км$^3$.
Сколько таких морей нужно было бы влить в Атлантический океан
(солёность — 35,4\permil{}, объём — 330 млн~км$^3$),
чтобы увеличить его солёность на 0,5\permil?
(Достаточно вывести необходимую формулу.)
- На координатной плоскости $XOY$ изобразите множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству:
\[
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \ge \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}.
\]
- Чему равно отношение площади правильного шестиугольника к площади правильного треугольника,
вписанного в окружность, которая вписана в квадрат, вписанный в окружность, которая вписана в исходный треугольник?
- При каких значениях $a$ система уравнений
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 16, \\
a - y = \lvert x \rvert
\end{cases}
\]
не имеет решений?
\vspace{1ex} {\footnotesize\textsuperscript{\dag} название источника не указано.}
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Заполните пустые квадратики пропущенными числами и решите получившееся уравнение:
\[
(x - 1) + (4\cdot x - \mathbf{3}) + (7\cdot x - 5) + (10\cdot x - 7) + \dots + (\mathbf{148}\cdot x - 99)
= 49\cdot25.
\]
Решение: Коэффициенты при \( x \) образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1, разностью 3, последний член равен \( 148 \). Свободные члены: \(-1, -3, -5, \ldots, -99\) также арифметическая прогрессия с разностью \(-2\). Количество слагаемых \( n = 50 \). Сумма коэффициентов при \( x \):
\[
\frac{(1 + 148) \cdot 50}{2} = 3725.
\]
Сумма свободных членов:
\[
-\frac{(1 + 99) \cdot 50}{2} = -2500.
\]
Уравнение принимает вид:
\[
3725x - 2500 = 1225 \quad \Rightarrow \quad x = 1.
\]
Ответ: \( x = 1 \).
- Постройте график функции:
\[
f(x) = \frac{3x^2 - 12x + 11}{4x - x^2 - 4}.
\]
Решение: Упростим знаменатель:
\[
4x - x^2 - 4 = -(x^2 - 4x + 4) = -(x - 2)^2.
\]
Числитель:
\[
3x^2 - 12x + 11 = 3(x - 2)^2 - 1.
\]
Тогда:
\[
f(x) = \frac{3(x - 2)^2 - 1}{-(x - 2)^2} = -3 + \frac{1}{(x - 2)^2}.
\]
График имеет вертикальную асимптоту \( x = 2 \), горизонтальную асимптоту \( y = -3 \). При \( x > 2 \) и \( x < 2 \) функция стремится к \( -3 \) сверху. Точек пересечения с осями нет. График симметричен относительно прямой \( x = 2 \).
- Определение: функция \( g \) называется чётной, если \( g(-x) = g(x) \) для всех \( x \). Это определение корректно, но подразумевает симметричность области определения относительно нуля. Если функция определена на несимметричной области (например, только при \( x \ge 0 \)), формально она не может быть чётной. Объекты, симметричные интуитивно, но с несимметричной областью определения, не удовлетворяют критерию. Ответ: согласны, при условии симметричной области определения.
- Пусть объём Атлантического океана \( V_{\text{ок}} = 330 \cdot 10^6 \, \text{км}^3 \), солёность \( S_{\text{ок}} = 35,4\permil \). Пусть \( n \) — количество Мёртвых морей (\( V_{\text{м}} = 150 \, \text{км}^3 \), \( S_{\text{м}} = 300\permil \)) для увеличения солёности до \( S_{\text{ок}} + 0,5\permil \). Масса соли до смешения:
\[
S_{\text{ок}} \cdot V_{\text{ок}} + S_{\text{м}} \cdot n \cdot V_{\text{м}}.
\]
Новый объём:
\[
V_{\text{ок}} + n V_{\text{м}}.
\]
Уравнение:
\[
\frac{S_{\text{ок}} V_{\text{ок}} + S_{\text{м}} n V_{\text{м}}}{V_{\text{ок}} + n V_{\text{м}}} = S_{\text{ок}} + 0,5.
\]
Решение для \( n \):
\[
n = \frac{V_{\text{ок}} (S_{\text{ок}} + 0,5 - S_{\text{ок}})}{V_{\text{м}} (S_{\text{м}} - S_{\text{ок}} - 0,5)} = \frac{0,5 V_{\text{ок}}}{299,5 V_{\text{м}}}.
\]
- Решение неравенства:
\[
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \ge \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}.
\]
Перепишем:
\[
\frac{y - x}{xy} \ge \frac{x^3 - y^3}{x^2 y^2},
\]
учитывая \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \). Упростим:
\[
(y - x) \left( \frac{1}{xy} + \frac{x^2 + xy + y^2}{x^2 y^2} \right) \ge 0.
\]
Второй множитель всегда положителен. Значит, \( y \ge x \). Область определения: \( x \ne 0 \), \( y \ne 0 \). График — точки, лежащие выше или на прямой \( y = x \), исключая оси координат.
- Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса \( r \): \( S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2} r^2 \). Площадь правильного треугольника, вписанного в ту же окружность: \( S_3 = \frac{3\sqrt{3}}{4} r^2 \). Отношение:
\[
\frac{S_6}{S_3} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{4}} = 2.
\]
Ответ: 2.
- Система:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 16, \\
a - y = \lvert x \rvert.
\end{cases}
\]
Подставим \( y = a - |x| \) в первое уравнение:
\[
x^2 + (a - |x|)^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 2a|x| + a^2 - 16 = 0.
\]
Замена \( t = |x| \ge 0 \):
\[
2t^2 - 2a t + a^2 - 16 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 4a^2 - 8(a^2 - 16) = -4a^2 + 128 = 4(32 - a^2).
\]
Решений нет, если \( D 32 \quad \Rightarrow \quad |a| > 4\sqrt{2} \).
Ответ: \( a \in (-\infty, -4\sqrt{2}) \cup (4\sqrt{2}, +\infty) \).
Материалы школы Юайти