8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2015 год вариант ФМШ 2015-III-10-1

Сложность:
Дата экзамена: 2015
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2015 год


Вариант ФМШ 2015-III-10-1



  1. Заполните пустые квадратики пропущенными числами и решите получившееся уравнение: \[ (x - 1) + (3\cdot x - \square) + (5\cdot x - 7) + (7\cdot x - 10) + \dots + (\square\cdot x - 148) = 51\cdot25. \]

  2. Постройте график функции: \[ f(x) = \frac{12x - 2x^2 - 17}{6x - x^2 - 9}. \]

  3. В одной из книг* приводится следующее определение: «The function $y = f(x)$ is called \emph{odd} if for each $a$ the equation $f(-a) = -f(a)$ is satisfied». Согласны ли Вы с ним? Существуют ли объекты, которые не подпадают под него, но, тем не менее, должны относиться к определяемому классу объектов? Ответы обосновать.

  4. Самым солёным водоёмом на Земле считается озеро Дон-Жуан в Антарктиде. Его солёность — около $400\permil$, объём — $0{,}003\,\mathrm{км}^3$. Сколько таких озёр нужно было бы влить в Тихий океан (солёность — $34{,}5\permil$, объём — $710{,}4$ млн\,км$^3$), чтобы увеличить его солёность на $0{,}5\permil$? (Достаточно вывести необходимую формулу.)

  5. На координатной плоскости $XOY$ изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: \[ \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \ge \frac{1}{x} + \frac{1}{y}. \]

  6. Чему равно отношение площади правильного шестиугольника к площади правильного треугольника, вписанного в окружность, которая вписана в квадрат, вписанный в окружность, которая вписана в исходный шестиугольник?

  7. При каких значениях $a$ система уравнений \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ a + y = \lvert x \rvert \end{cases} \] имеет максимальное количество решений?

    \vspace{1ex} * — название книги не называется.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Заполните пустые квадратики пропущенными числами и решите получившееся уравнение: \[ (x - 1) + (3\cdot x - \square) + (5\cdot x - 7) + (7\cdot x - 10) + \dots + (\square\cdot x - 148) = 51\cdot25. \]
    Решение:
    Коэффициенты при \(x\) образуют арифметическую прогрессию с разностью 2: \(1, 3, 5, \dots, 2n-1\). Свободные члены — арифметическую прогрессию с первым членом \(-1\) и разностью \(-3\): \(-1, -4, -7, \dots, -1 -3(k-1)\).

    1. Последний свободный член равен \(-148\): решаем уравнение \(-1 -3(n-1) = -148 \Rightarrow n=50\). Тогда последний коэффициент при \(x\) равен \(2 \cdot 50 -1 =99\).

    2. Уравнение имеет вид: \[ \sum_{k=1}^{50} [(2k-1)x - (1+3(k-1))] = 1275. \] Сумма коэффициентов при \(x\): \(\sum_{k=1}^{50} (2k-1) = 2500\). Сумма свободных членов: \(-3725\).

    Уравнение: \[ 2500x - 3725 = 1275 \Rightarrow 2500x = 5000 \Rightarrow x = 2. \]
    Ответ: Пропущенные числа: 4 и 99. Решение: \(x = 2\).

  2. Постройте график функции: \[ f(x) = \frac{12x - 2x^2 - 17}{6x - x^2 - 9}. \]
    Решение:
    Упростим функцию: \[ f(x) = \frac{-2x^2 + 12x -17}{-(x-3)^2} = 2 - \frac{1}{(x-3)^2}. \] Вертикальная асимптота: \(x=3\). Горизонтальная асимптота: \(y=2\). График симметричен относительно вертикали \(x=3\), имеет точки пересечения с осью \(x\) при \(x = 3 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\).
    Ответ: График строится на основе анализа асимптот и пересечений.

  3. Определение нечётной функции: «Функция \(y = f(x)\) называется нечётной, если для любого \(a\) выполняется \(f(-a) = -f(a)\)».
    Решение:
    Определение корректно только при симметричной области определения относительно начала координат. Объекты с несимметричной областью (например, \(f(x)\) определёна только при \(x >0\)) не подпадают под данное определение, но могут считаться нечётными при естественном дополнении.
    Ответ: Определение требует симметрии области определения, иначе не охватывает все случаи.

  4. Увеличение солёности Тихого океана на \(0,5\permil\):
    Решение:
    Уравнение сохранения соли: \[ \frac{34,5 \cdot 710,\!4 \cdot 10^6 + 400n \cdot 0,003}{710,\!4 \cdot 10^6 + 0,003n} = 35,0. \] Упрощаем: \[ n = \frac{0,5 \cdot 710,4 \cdot 10^6}{(400 - 35) \cdot 0,003} \approx 324,\!384 \cdot 10^6. \]
    Ответ: Примерная формула \( n = \frac{0,5V_{\text{океана}}}{(S_{\text{озеро}} - S_{\text{нов}})V_{\text{озеро}} } \).

  5. Неравенство: \[ \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \ge \frac{1}{x} + \frac{1}{y}. \]
    Решение:
    Умножаем на \(x^2y^2\), преобразуем: \[ (x - y)^2(x + y) \ge 0. \] Решение: Все точки с \(x, y >0\); точки, где \(x + y \ge 0\) при разных знаках \(x\) и \(y\); линия \(x + y =0\).
    Ответ: Область объединяет первый квадрант, части других квадрантов с \(x + y \ge0\) и линию \(y = -x\).

  6. Отношение площадей шестиугольника и треугольника:
    Решение:
    1. Шестиугольник со стороной \(s\): радиус вписанной окружности \(r_1 = \frac{s\sqrt{3}}{2}\). 2. Квадрат с диагональю \(2r_1\): сторона \(a = \sqrt{2}r_1\). 3. Радиус новой окружности \(r_2 = \frac{a}{2} = \frac{s\sqrt{6}}{4}\). 4. Сторона треугольника в \(r_2\): \(l = r_2 \sqrt{3} = \frac{3s\sqrt{2}}{4}\). 5. Площади: шестиугольник \(\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2\), треугольник \(\frac{9\sqrt{3}}{32}s^2\).
    Отношение: \(\frac{16}{3}\).
    Ответ: \(\frac{16}{3}\).

  7. Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ a + y = \lvert x \rvert \end{cases} \]
    Решение:
    Уравнение \(y = |x| -a\) пересекает окружность четырежды, если \(5 < a < 5\sqrt{2}\).
    Ответ: \(a \in (5; 5\sqrt{2})\).
Материалы школы Юайти