8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2015 год вариант ФМШ 2015-II-10-2

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2015 год


Вариант ФМШ 2015-II-10-2



  1. Решите уравнение: \[ \sqrt{x + 1} + \frac{2x + 5}{\sqrt{x + 4}} = \sqrt{x + 4}. \]

  2. Пусть \[ f(x) = \frac{1}{x}, \quad g(x) = x^2, \quad h(x) = g\bigl(f(\dots g(f(x))\dots)\bigr), \] где композиция функций продолжается 2015 раз: \(h(x) = g(f(\dots g(f(x))\dots))\). Упростите запись функции~$h(x)$.

  3. Дайте определение корня $n$-й степени и арифметического корня $n$-й степени, укажите области определения и множества значений соответствующих функций. Как можно получить график функции корня $n$-й степени из графика соответствующей степенной функции? Ответ обосновать.

  4. В каких пропорциях нужно смешать растворы 50% и 70% кислоты, чтобы получить раствор 62% кислоты?

  5. В треугольнике со стороной $a$ вписан квадрат со стороной $b$ так, что две его вершины лежат на этой стороне треугольника, а две другие вершины — на двух других сторонах треугольника. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону, содержащую две вершины данного квадрата.

  6. Постройте график функции \[ f(x) = \lvert x - 1 \rvert - \lvert x + 1 \rvert. \] Измените аналитическое выражение функции так, чтобы график исходной функции:
    1. сместился вдоль оси абсцисс на три единицы вправо;
    2. сместился вдоль оси ординат на четыре единицы вниз.


  7. Найдите все значения $a$, при которых три действительных корня уравнения \[ x^3 + 12x^2 + a x + 28 = 0 \] являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ \sqrt{x + 1} + \frac{2x + 5}{\sqrt{x + 4}} = \sqrt{x + 4}. \]
    Решение: \[ \sqrt{x + 1} + \frac{2x + 5}{\sqrt{x + 4}} = \sqrt{x + 4} \] Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{x + 4}\): \[ \sqrt{(x + 1)(x + 4)} + 2x + 5 = x + 4 \] Упростим: \[ \sqrt{x^{2} + 5x + 4} = -x - 1 \] Левая часть — корень, который неотрицателен, правая должна быть \(\geq 0\): \[ -x - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq -1 \] С учетом ОДЗ \(x \geq -1\) получаем \(x = -1\). Проверяем подстановкой: \[ \sqrt{0} + \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3} \quad \text{(верно)}. \]
    Ответ: \(-1\).

  2. Пусть \[ f(x) = \frac{1}{x}, \quad g(x) = x^2, \quad h(x) = g\bigl(f(\dots g(f(x))\dots)\bigr), \] где композиция функций продолжается 2015 раз. Упростите запись функции \(h(x)\).
    Решение: Каждая пара операций \(f(g(\cdot))\) приводит к возведению в квадрат. Для нечетного числа операций (2015): \[ h(x) = g(f(g(f(\dots g(f(x)))))) = x^{-2^{1008}} \] Последовательность преобразований: \begin{align*} f(x) &= \frac{1}{x}, \\ g(f(x)) &= \frac{1}{x^2}, \\ f(g(f(x))) &= x^2, \\ g(f(g(f(x)))) &= x^4, \quad \text{и т.д.} \end{align*} За 2015 шагов степень равна \((-2)^{2015}\).

    Ответ: \(h(x) = x^{-2^{1008}}\).

  3. Дайте определение корня \(n\)-й степени и арифметического корня \(n\)-й степени, укажите области определения и множества значений соответствующих функций. Как можно получить график функции корня \(n\)-й степени из графика соответствующей степенной функции? Ответ обосновать.
    Решение:
    • Корень \(n\)-й степени из \(a\) — число \(x\), удовлетворяющее \(x^n = a\).
    • Арифметический корень \(n\)-й степени — неотрицательный корень при четном \(n\).
    • Область определения:
      • Для четных \(n\): \(a \geq 0\).
      • Для нечетных \(n\): \(a \in \mathbb{R}\).
    • Множество значений:
      • Для четных \(n\): \(\mathbb{R}_{\geq 0}\).
      • Для нечетных \(n\): \(\mathbb{R}\).
    • График корня \(n\)-й степени получается отражением графика \(y = x^n\) относительно прямой \(y = x\) (для четных \(n\) — только правую ветвь).


  4. В каких пропорциях нужно смешать растворы 50% и 70% кислоты, чтобы получить раствор 62% кислоты?
    Решение: По правилу смешения: \[ \frac{m_{50\%}}{m_{70\%}} = \frac{70 - 62}{62 - 50} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}. \]
    Ответ: \(2:3\).

  5. В треугольнике со стороной \(a\) вписан квадрат со стороной \(b\) так, что две его вершины лежат на этой стороне треугольника, а две другие вершины — на двух других сторонах треугольника. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону, содержащую две вершины данного квадрата.
    Решение: Пусть высота треугольника равна \(h\). Подобные треугольники дают соотношение: \[ \frac{h - b}{h} = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{a \cdot b}{a - b}. \]
    Ответ: \(\frac{ab}{a - b}\).

  6. Постройте график функции \[ f(x) = \lvert x - 1 \rvert - \lvert x + 1 \rvert. \] Измените аналитическое выражение функции так, чтобы график исходной функции:
    1. сместился вдоль оси абсцисс на три единицы вправо;
    2. сместился вдоль оси ординат на четыре единицы вниз.

    Решение: Исходная функция: \[ f(x) = \begin{cases} 2, & x \leq -1, \\ -2x, & -1 < x < 1, \\ -2, & x \geq 1. \end{cases} \]
    1. Сдвиг вправо на 3: \[ f(x - 3) = \lvert x - 4 \rvert - \lvert x - 2 \rvert. \]
    2. Сдвиг вниз на 4: \[ f(x) - 4 = \lvert x - 1 \rvert - \lvert x + 1 \rvert - 4. \]


  7. Найдите все значения \(a\), при которых три действительных корня уравнения \[ x^3 + 12x^2 + a x + 28 = 0 \] являются последовательными членами арифметической прогрессии.
    Решение: Пусть корни \(p - d, p, p + d\). По теореме Виета: \[ (p - d) + p + (p + d) = -12 \quad \Rightarrow \quad 3p = -12 \quad \Rightarrow \quad p = -4. \] Подставим в произведение корней: \[ (-4 - d)(-4)(-4 + d) = -28 \quad \Rightarrow \quad -4(16 - d^2) = -28 \quad \Rightarrow \quad d^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad d = \pm 3. \] Сумма попарных произведений: \[ a = 3p^2 - d^2 = 3 \cdot 16 - 9 = 39. \]
    Ответ: \(a = 39\).
Материалы школы Юайти