8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2015 год вариант ФМШ 2015-II-10-1

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2015 год


Вариант ФМШ 2015-II-10-1



  1. Решите уравнение: \[ \frac{x - 2}{\sqrt{2x - 5}} - \sqrt{x - 3} = \sqrt{2x - 5}. \]

  2. Пусть \[ f(x) = \frac{1}{x}, \quad g(x) = x^2, \quad h(x) = f\bigl(g\bigl(\dots f\bigl(g\bigl(f\bigl(g(x)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr). \] Упростите запись функции~$h(x)$.

  3. Дайте определение степенной функции, укажите её область определения и множество значений. Могут ли графики двух различных степенных функций:
    1. не иметь точек пересечения?
    2. иметь бесконечное количество точек пересечения?
    Ответы обосновать.

  4. Один сплав меди с оловом содержит эти металлы в отношении $2:3$, другой — в отношении $3:7$. В каком количестве надо взять эти сплавы, чтобы получить 12~кг нового сплава, в котором медь и олово были бы в отношении $3:5$?

  5. В треугольнике со стороной $a$ и высотой $h$, опущенной на неё, вписан квадрат так, что две его вершины лежат на этой стороне треугольника, а две другие вершины — на двух других сторонах треугольника. Найдите сторону квадрата.

  6. Постройте график функции \[ f(x) = \lvert x + 1 \rvert + \lvert x - 1 \rvert. \] Измените аналитическое выражение функции так, чтобы график исходной функции:
    1. сместился вдоль оси абсцисс на три единицы влево;
    2. сместился вдоль оси ординат на две единицы вверх.


  7. Найдите все значения $a$, при которых три действительных корня уравнения \[ x^3 - 12x^2 + a x - 28 = 0 \] являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ \frac{x - 2}{\sqrt{2x - 5}} - \sqrt{x - 3} = \sqrt{2x - 5}. \]
    Решение: Найдём ОДЗ: \[ 2x - 5 > 0 \Rightarrow x > 2,5 \quad \text{и} \quad x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3. \] Объединяя условия: \(x \geq 3\). Переносим \(\sqrt{2x - 5}\) влево: \[ \frac{x - 2}{\sqrt{2x - 5}} = \sqrt{2x - 5} + \sqrt{x - 3}. \] Умножим обе части на \(\sqrt{2x - 5}\): \[ x - 2 = (2x - 5) + \sqrt{(2x - 5)(x - 3)}. \] Упрощаем: \[ x - 2 = 2x - 5 + \sqrt{(2x - 5)(x - 3)} \Rightarrow -x + 3 = \sqrt{(2x - 5)(x - 3)}. \] Возведём в квадрат: \[ (-x + 3)^2 = (2x - 5)(x - 3) \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = 2x^2 - 11x + 15 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0. \] Корни: \[ x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 3,\ x_2 = 2. \] По ОДЗ \(x \geq 3\), подходит только \(x = 3\).
    Ответ: \(3\).
  2. Упростите функцию: \[ h(x) = f\bigl(g\bigl(\dots f\bigl(g\bigl(f\bigl(g(x)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr). \]
    Решение: Развернём композиции: \[ g(x) = x^2, \quad f(g(x)) = \frac{1}{x^2}, \quad g(f(g(x))) = \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = \frac{1}{x^4}, \quad f(g(f(g(x)))) = x^4. \] При многоточии, обозначающем продолжение, паттерн повторяется. Для трёх применений получим: \[ h(x) = x^4. \]
    Ответ: \(x^4\).
  3. Степенная функция \(y = x^a\), где \(a \in \mathbb{R}\). Область определения:
    • \(x > 0\) для нецелых \(a\);
    • \(x \in \mathbb{R}\) для целых \(a > 0\);
    • \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) для целых \(a < 0\).
    Множество значений:
    • \(y > 0\) для \(a \neq 0\);
    • \(y \in \mathbb{R}\) для нечётных целых \(a\);
    • \(y \geq 0\) для чётных целых \(a > 0\).
    Ответы:
    1. Нет. Графики любых двух различных степенных функций пересекаются хотя бы в одной точке (например, в \(x = 1\)).
    2. Нет. Степенные функции не могут пересекаться бесконечно много раз. Все пересечения локализованы в конечном числе точек.
  4. Смешиваем сплавы:
    • Первый сплав: \(\text{Cu:Sn} = 2:3\);
    • Второй сплав: \(\text{Cu:Sn} = 3:7\);
    • Требуется новый сплав 12 кг с \(\text{Cu:Sn} = 3:5\).
    Масса меди в новом сплаве: \(\frac{3}{8} \cdot 12 = 4,5\) кг.
    Пусть \(x\) кг — первый сплав, \(y\) кг — второй.
    Система: \[ \begin{cases} x + y = 12, \\ \frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y = 4,5. \end{cases} \] Решение: \[ y = 12 - x, \quad \frac{2}{5}x + \frac{3}{10}(12 - x) = 4,5 \Rightarrow x = 9, \quad y = 3. \]
    Ответ: 9 кг первого сплава, 3 кг второго.
  5. Сторона квадрата в треугольнике:
    Пусть сторона квадрата \(x\). Рассматривая подобие треугольников: \[ \frac{h - x}{h} = \frac{a(h - x)/h}{a - x} \Rightarrow x = \frac{ah}{a + h}. \]
    Ответ: \(\frac{ah}{a + h}\).
  6. График \(f(x) = |x + 1| + |x - 1|\): Упрощение: \[ f(x) = \begin{cases} -2x, & x 1. \end{cases} \] Модификации:
    1. Сдвиг влево: \(f(x + 3) = |x + 4| + |x + 2|\);
    2. Сдвиг вверх: \(f(x) + 2 = |x + 1| + |x - 1| + 2\).
  7. Найти \(a\), чтобы корни \(x^3 - 12x^2 + ax - 28 = 0\) образовывали арифметическую прогрессию.
    Пусть корни \(4 - d\), \(4\), \(4 + d\). По теореме Виета: \[ (4 - d) \cdot 4 \cdot (4 + d) = 28 \Rightarrow 4(16 - d^2) = 28 \Rightarrow d^2 = 9 \Rightarrow d = 3. \] Корни: \(1\), \(4\), \(7\). Сумма попарных произведений: \[ 1 \cdot 4 + 1 \cdot 7 + 4 \cdot 7 = 39 \Rightarrow a = 39. \]
    Ответ: \(39\).
Материалы школы Юайти