ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2015 год вариант ФМШ 2015-10-2
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2015 год
Вариант ФМШ 2015-10-2
- Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\sqrt{\frac{x + y}{x - y}} - \sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = \frac{24}{5}, \\
8xy - 4x - 13y = 26.
\end{cases}
\]
- Три числа, сумма которых равна 31, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как 1-й, 2-й и 7-й члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа.
- Решите неравенство:
\[
\lvert x - 2 \rvert > \lvert x \rvert - 2.
\]
- $A$, $B$ и $C$ – вершины треугольника: $A(1; -2; 2)$, $B(1; 4; 0)$ и $C(-5; -5; 3)$. Найти его внешний угол при вершине $A$.
- Параллельно основанию треугольника на расстоянии $l$ от вершины треугольника провели прямую, которая разделила данный треугольник на две фигуры, имеющие равную площадь. Чему равна высота треугольника?
- В каких случаях корень из произведения некоторых выражений не равен произведению корней из данных выражений? Верно ли, что если при решении некоторого уравнения, содержащего корень из произведения, перейти в нём к произведению корней, то новое уравнение может иметь корни, не являющиеся корнями исходного уравнения? Ответ обосновать.
- При $a = 1$ изобразить на координатной плоскости график функции \[ f(x) = \bigl|\,a - |x + 1| - |x|\bigr|. \] При каких значениях $a$ множество значений функции \[ g(x) = \begin{cases} |1 - a|, & x \ge 0, \\ f(x), & x < 0 \end{cases} \] будет содержать интервал $(2;4)$?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\sqrt{\frac{x + y}{x - y}} - \sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = \frac{24}{5}, \\
8xy - 4x - 13y = 26.
\end{cases}
\]
Решение:
Введём замену \( t = \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} \). Тогда первое уравнение примет вид:
\[
t - \frac{1}{t} = \frac{24}{5}.
\]
Умножив обе части на \( t \), получим квадратное уравнение:
\[
5t^2 - 24t - 5 = 0.
\]
Его корни: \( t = 5 \) и \( t = -\frac{1}{5} \). Поскольку \( t \ge 0 \), остаётся \( t = 5 \). Тогда:
\[
\frac{x + y}{x - y} = 25 \implies x + y = 25(x - y) \implies 24x = 26y \implies y = \frac{12}{13}x.
\]
Подставим \( y = \frac{12}{13}x \) во второе уравнение:
\[
8x \cdot \frac{12}{13}x - 4x - 13 \cdot \frac{12}{13}x = 26 \implies \frac{96}{13}x^2 - 16x = 26 \implies 96x^2 - 208x - 338 = 0.
\]
Решая квадратное уравнение, получим:
\[
x = \frac{13}{4} \quad \text{и} \quad x = -\frac{13}{12}.
\]
Соответствующие значения \( y \): \( y = 3 \) и \( y = -1 \).
Ответ: \(\boxed{\left(\frac{13}{4}; 3\right)}\) и \(\boxed{\left(-\frac{13}{12}; -1\right)}\).
- Три числа, сумма которых равна 31, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как 1-й, 2-й и 7-й члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть три числа геометрической прогрессии: \( a \), \( aq \), \( aq^2 \). Для арифметической прогрессии: \( b \), \( b + d \), \( b + 6d \). Условия:
\[
a + aq + aq^2 = 31, \quad 3b + 7d = 31.
\]
Приравнивая члены, получим систему:
\[
\begin{cases}
a = b, \\
aq = b + d, \\
aq^2 = b + 6d.
\end{cases}
\]
Подставляя \( d = aq - a \), получим:
\[
a(-4 + 7q) = 31 \quad \text{и} \quad 1 + q + q^2 = \frac{31}{a}.
\]
Решив эти уравнения, найдём \( q = 5 \), \( a = 1 \). Тогда числа: 1, 5, 25.
Ответ: \(\boxed{1}\), \(\boxed{5}\), \(\boxed{25}\).
- Решите неравенство:
\[
\lvert x - 2 \rvert > \lvert x \rvert - 2.
\]
Решение:
Рассмотрим случаи:
- \( x \ge 2 \): \( x - 2 > x - 2 \implies 0 > 0 \) (нет решений).
- \( 0 \le x x - 2 \implies x < 2 \).
- \( x -x \implies 2 > 0 \) (всегда верно).
- Найти внешний угол при вершине \( A \) треугольника с вершинами \( A(1, -2, 2) \), \( B(1, 4, 0) \), \( C(-5, -5, 3) \).
Решение:
Векторы \( \overrightarrow{AB} = (0, 6, -2) \), \( \overrightarrow{AC} = (-6, -3, 1) \).
\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-20}{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{46}} = -\frac{5}{\sqrt{115}}.
\]
Внешний угол равен \( \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{115}}\right) \).
Ответ: \(\boxed{\arccos\left(\frac{5}{\sqrt{115}}\right)}\).
- Найти высоту треугольника, если прямая, проведённая параллельно основанию на расстоянии \( l \) от вершины, делит его на две равные по площади части.
Решение:
Коэффициент подобия треугольников \( k = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Тогда:
\[
\frac{h - l}{h} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies h = l(2 + \sqrt{2}).
\]
Ответ: \(\boxed{l(2 + \sqrt{2})}\).
- Корень из произведения может не равняться произведению корней, если множители отрицательны. Замена корня на произведение может привести к потере решений или добавлению посторонних, так как сужает ОДЗ.
Ответ: Утверждение верно: при замене \(\sqrt{ab}\) на \(\sqrt{a}\sqrt{b}\) могут появиться посторонние корни из-за неучёта знаков \( a \) и \( b \).
- Построить график \( f(x) = \bigl|\,1 - |x + 1| - |x|\bigr| \). При \( a \in [-1, 3] \) множество значений функции \( g(x) \) содержит интервал \( (2; 4) \).
Решение:
График \( f(x) \):
- \( x \ge 0 \: \Rightarrow \: y = 2x \);
- \( -1 \le x < 0 \: \Rightarrow \: y = 0 \);
- \( x < -1 \: \Rightarrow \: y = |2x + 2| \).
Материалы школы Юайти