ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2015 год вариант ФМШ 2015-10-1
СкачатьПечать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2015 год
Вариант ФМШ 2015-10-1
- Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\sqrt{\frac{x - y}{x + y}} + \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = \frac{26}{5}, \\
24xy - 12x - 13y = 52.
\end{cases}
\]
- Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами убывающей арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии.
- Решите неравенство:
\[
\lvert x + 2 \rvert < \lvert x \rvert + 2.
\]
- $A$, $B$ и $C$ – вершины треугольника: $A(3;2;-3)$, $B(5;1;-1)$ и $C(1;-2;1)$. Найти его внешний угол при вершине $B$.
- Высота треугольника равна $h$. На каком расстоянии от вершины следует провести прямую, параллельную основанию, чтобы она делила треугольник на две фигуры равной площади?
- В каких случаях произведение корней из некоторых выражений равно корню из произведения данных выражений? Верно ли, что если при решении некоторого уравнения перейти от произведения корней к корню из произведения, то все корни исходного уравнения будут одновременно являться корнями нового уравнения? Ответ обосновать.
- При $a = 1$ изобразить на координатной плоскости график функции \[ f(x) = \bigl\lvert x - \lvert 1 - x \rvert + a \bigr\rvert. \] При каких значениях $a$ множество значений функции \[ g(x) = \begin{cases} f(x), & x \ge 0, \\ \lvert a - 1 \rvert, & x < 0 \end{cases} \] будет содержать интервал $(2;4)$?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\sqrt{\frac{x - y}{x + y}} + \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = \frac{26}{5}, \\
24xy - 12x - 13y = 52.
\end{cases}
\]
Решение: Область допустимых значений: $x + y \ne 0$, $x - y \ne 0$, $\frac{x - y}{x + y} > 0$.
Введем замену: $t = \sqrt{\frac{x - y}{x + y}} \implies \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = \frac{1}{t}$.
Уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{26}{5} \implies 5t^2 - 26t + 5 = 0 \implies t = 5 \quad \text{или} \quad t = \frac{1}{5}$
Случай 1: $t = 5 = \sqrt{\frac{x - y}{x + y}} \implies \frac{x - y}{x + y} = 25$
Получим систему: $ \begin{cases} x - y = 25(x + y) \\ 24xy - 12x - 13y = 52 \end{cases} \implies \begin{cases} 24x + 26y = 0 \\ 24xy - 12x - 13y = 52 \end{cases}$ Подстановка $x = -\frac{13}{12}y$ во второе уравнение дает решение: $y = -4$, $x = \frac{13}{3}$.
Случай 2: $t = \frac{1}{5} \implies \frac{x - y}{x + y} = \frac{1}{25}$
Получим систему: $ \begin{cases} x - y = \frac{1}{25}(x + y) \\ 24xy - 12x - 13y = 52 \end{cases} \implies \begin{cases} 24x - 26y = 0 \\ 24xy - 12x - 13y = 52 \end{cases}$ Подстановка $y = \frac{12}{13}x$ во второе уравнение дает решение: $x = \frac{13}{2}$, $y = 6$. Проверка на соответствие ОДЗ: Первое решение $\left(\frac{13}{3}; -4\right)$: $\frac{13}{3} - (-4) = \frac{25}{3} > 0$, $\frac{13}{3} + (-4) = \frac{1}{3} > 0$ — подходит.
Второе решение $\left(\frac{13}{2}; 6\right)$: $\frac{13}{2} - 6 = \frac{1}{2} > 0$, $\frac{13}{2} + 6 = \frac{25}{2} > 0$ — подходит. Ответ: $\left(\frac{13}{3}; -4\right)$, $\left(\frac{13}{2}; 6\right)$.
- Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами убывающей арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии.
Решение: Пусть члены геометрической прогрессии: $b$, $bq$, $bq^2$. По условию:
$b + bq + bq^2 = 91 \quad (1)$ После прибавления получаем арифметическую прогрессию: $b + 25, \quad bq + 27, \quad bq^2 + 1$ Свойство арифметической прогрессии: $2(bq + 27) = (b + 25) + (bq^2 + 1)$ $2bq + 54 = b + bq^2 + 26$ $bq^2 - 2bq + b + 28 = 0 \quad (2)$ Из уравнения (1) выразим $b(1 + q + q^2) = 91 \implies b = \frac{91}{1 + q + q^2}$. Подставим $b$ в уравнение (2): $\frac{91}{1 + q + q^2}(q^2 - 2q + 1) + 28 = 0$ $\frac{91(q - 1)^2}{1 + q + q^2} + 28 = 0$ Введем замену $t = q$: $91(t - 1)^2 = -28(t^2 + t + 1)$ $91t^2 - 182t + 91 + 28t^2 + 28t + 28 = 0$ $119t^2 - 154t + 119 = 0$ $17t^2 - 22t + 17 = 0$ Дискриминант $D = 484 - 1156 = -672 0$ для геометрической прогрессии, уравнение не имеет решений. Следовательно, в геометрической прогрессии знаменатель должен быть отрицательным. Переобозначим члены арифметической прогрессии: Первые три члена геометрической прогрессии: $b$, $-bq$, $bq^2$ (с отрицательным знаменателем). Аналогичное решение приводит к $q = -3$, $b = 7$. Тогда седьмой член геометрической прогрессии: $bq^6 = 7 \cdot (-3)^6 = 5103$. Ответ: 5103.
- Решите неравенство:
\[
\lvert x + 2 \rvert < \lvert x \rvert + 2.
\]
Решение: Возведем обе части неравенства в квадрат (обе части неотрицательны):
$$(x + 2)^2 < (|x| + 2)^2$$
Раскроем скобки:
$x^2 + 4x + 4 < x^2 + 4|x| + 4$
$4x < 4|x|$
$x < |x|$
Данное неравенство выполняется для всех $x < 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.
- $A$, $B$ и $C$ – вершины треугольника: $A(3;2;-3)$, $B(5;1;-1)$ и $C(1;-2;1)$. Найти его внешний угол при вершине $B$.
\\
Решение: Найдем векторы из точки $B$:
$\vec{BA} = (3 - 5; 2 - 1; -3 + 1) = (-2; 1; -2)$
$\vec{BC} = (1 - 5; -2 - 1; 1 + 1) = (-4; -3; 2)$
Найдем угол между векторами через скалярное произведение:
$\cos \phi = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$
Вычислим:
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2)(-4) + (1)(-3) + (-2)(2) = 8 - 3 - 4 = 1$
$|\vec{BA}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$
$\cos \phi = \frac{1}{3\sqrt{29}} \implies \phi \approx 86^\circ$
Внешний угол равен $180^\circ - \phi \approx 94^\circ$.
Ответ: Внешний угол при вершине $B$ равен $\arccos\left(-\frac{1}{3\sqrt{29}}\right)$ или приблизительно $94^\circ$.
- Высота треугольника равна $h$. На каком расстоянии от вершины следует провести прямую, параллельную основанию, чтобы она делила треугольник на две фигуры равной площади?
\\
Решение: Пусть площадь исходного треугольника $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание. Требуется провести прямую на высоте $y$ от вершины, чтобы площадь верхнего треугольника равнялась $\frac{S}{2}$.
Площадь верхнего треугольника:
$S_{\text{мал}} = \frac{1}{2}a_{\text{мал}}y = \frac{1}{2}S = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}ah\right)$
$ \implies a_{\text{мал}} = a \cdot \frac{y}{h},\quad S_{\text{мал}} = \frac{1}{2}a \cdot \frac{y}{h} \cdot y = \frac{a y^2}{2h} = \frac{1}{4}ah$
Упростим:
$\frac{y^2}{h} = \frac{h}{2} \implies y = \frac{h}{\sqrt{2}}$
Ответ: На расстоянии $\frac{h}{\sqrt{2}}$ от вершины.
- В каких случаях произведение корней из некоторых выражений равно корню из произведения данных выражений? Верно ли, что если при решении некоторого уравнения перейти от произведения корней к корню из произведения, то все корни исходного уравнения будут одновременно являться корнями нового уравнения? Ответ обосновать.
\\
Решение: Тождество $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{AB}$ справедливо при $A \geq 0$ и $B \geq 0$. При этом переход от левой части к правой возможен в этих условиях, обратный переход требует дополнительного контроля знаков.
При замене произведения корней на корень из произведения теряются условия на знаки исходных выражений. Например, если $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{AB}$ при замене требует выполнения $A \geq 0$, $B \geq 0$. Новое уравнение может содержать посторонние решения, где одно из выражений отрицательно. Поэтому исходные корни будут корнями нового уравнения, но обратное неверно без дополнительных ограничений.
Ответ: Равенство верно при неотрицательности выражений под корнями. Не все корни нового уравнения будут корнями исходного без проверки условий.
- При $a = 1$ изобразить на координатной плоскости график функции
\[
f(x) = \bigl\lvert x - \lvert 1 - x \rvert + a \bigr\rvert.
\]
При каких значениях $a$ множество значений функции
\[
g(x) = \begin{cases}
f(x), & x \ge 0, \\
\lvert a - 1 \rvert, & x < 0
\end{cases}
\]
будет содержать интервал $(2;4)$?
\\
Решение: При $a = 1$ функция $f(x) = |x - |1 - x| + 1|$.
Рассмотрим случаи для $x \geq 1$ и $x < 1$:
Случай 1: $x \geq 1$:
$|1 - x| = x - 1$, тогда
$$f(x) = |x - (x - 1) + 1| = |2| = 2$
Случай 2: $x < 1$:
$|1 - x| = 1 - x$, тогда
$f(x) = |x - (1 - x) + 1| = |2x|$
Таким образом, график для $a = 1$:
$f(x) =
\begin{cases}
2|x|, & x < 1 \\
2, & x \geq 1
\end{cases}$
Для функции $g(x)$ при $x \geq 0$ значения совпадают с $f(x)$, т.е. интервал $[0;2)$ и $\{2\}$. Для $x < 0$ значение равно $|a - 1|$.
Чтобы множество значений содержало $(2;4)$, при $x \geq 0$ необходимо чтобы существовали значения из $(2;4)$. Это возможно только если вершина функции $f(x)$ поднимется выше:
Перепишем $f(x)$ для общего случая:
При $a \neq 1$, для $x < 0$: $g(x) = |a - 1|$.
При $x \geq 0$:
Аналогично анализу при $a = 1$ получим:
$$f(x) =
\begin{cases}
|2x + a - 1|, & x < 1 \\
|a + 1|, & x \geq 1
\end{cases}$$
Для попадания $(2;4)$ в множество значений необходимо:
- $|a - 1| \geq 2$ или $ |a + 1| \geq 2 \implies a \in (-\infty; -3] \cup [-1; 1) \cup (3; +\infty)$
- При $x \geq 1$, $f(x) = |a + 1| \geq 2 \implies a \leq -3$ или $a \geq 1$
Материалы школы Юайти