ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2014 год вариант ФМШ 2014-II-10-2

ФМШ МИЭМ

2014 год

Вариант ФМШ 2014-II-10-2

1. Вычислите значение выражения \[ \biggl(\frac{a^{0.5}}{a^{0.5} + 4} + \frac{4a^{0.5}}{a - 16}\biggr) \] при $a = 18$.
   
   
2. Найдите корни уравнения: \[ 3x^3 + 27x^2 - 54x - 24 = 0. \]
   
   
3. Решите неравенство: \[ \frac{(x - 7)^2 (x^3 - 1)(8 - x^2)}{(x^2 + 3x + 7)(x + 1)} \ge 0. \]
   
   
4. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют системе: \[ \begin{cases} (\sqrt{2x})^2 = \sqrt{(y + 1)^2}, \\ x\text{ — целое число}. \end{cases} \]
   
   
5. Медианы $AM$ и $BN$ треугольника $ABC$ пересекаются под прямым углом. Найдите площадь $S_{ABC}$, если $AM = 2$, $BN = 3$.
   
   
6. Дайте определение квадратичной функции. Какое минимальное количество точек необходимо задать на координатной плоскости, чтобы через них проходил график только одной квадратичной функции? Нужно ли в этом случае наложить какие-либо ограничения на расположение точек?
   
   
7. В правильный треугольник со стороной 3 вписана окружность, в неё вписан правильный треугольник, в этот треугольник снова вписана окружность и т.д. Найдите сумму длин всех окружностей.

Решения задач

1. Вычислите значение выражения \[ \biggl(\frac{a^{0.5}}{a^{0.5} + 4} + \frac{4a^{0.5}}{a - 16}\biggr) \] при \( a = 18 \).
   Решение:
   Подставим \( a = 18 \):
   \( a^{0.5} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
   Вычислим каждое слагаемое: \[ \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} + 4} + \frac{4 \cdot 3\sqrt{2}}{18 - 16} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} + 4} + \frac{12\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} + 4} + 6\sqrt{2} \]
   Упростим первую дробь, умножив числитель и знаменатель на \(3\sqrt{2} - 4\): \[ \frac{3\sqrt{2}(3\sqrt{2} - 4)}{(3\sqrt{2})^2 - 4^2} = \frac{18 - 12\sqrt{2}}{18 - 16} = \frac{18 - 12\sqrt{2}}{2} = 9 - 6\sqrt{2} \]
   Тогда выражение примет вид: \[ (9 - 6\sqrt{2}) + 6\sqrt{2} = 9 \]
   Ответ: \(9\).
   
   
2. Найдите корни уравнения: \[ 3x^3 + 27x^2 - 54x - 24 = 0. \]
   Решение:
   Вынесем общий множитель 3: \[ 3(x^3 + 9x^2 - 18x - 8) = 0 \implies x^3 + 9x^2 - 18x - 8 = 0 \]
   Проверим возможные рациональные корни по теореме Виета: возможные делители 8 — ±1, ±2, ±4, ±8. Подстановка \(x=2\): \[ 8 + 36 - 36 - 8 = 0 \]
   Значит, \(x=2\) — корень. Делим многочлен на \(x-2\): \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 9 & -18 & -8 \\ & & 2 & 22 & 8 \\ \hline & 1 & 11 & 4 & 0 \\ \end{array} \]
   Получаем квадратный трёхчлен: \(x^2 + 11x + 4\). Решим его: \[ D = 121 - 16 = 105 \implies x = \frac{-11 \pm \sqrt{105}}{2} \]
   Ответ: \(2\), \(\frac{-11 + \sqrt{105}}{2}\), \(\frac{-11 - \sqrt{105}}{2}\).
   
   
3. Решите неравенство: \[ \frac{(x - 7)^2 (x^3 - 1)(8 - x^2)}{(x^2 + 3x + 7)(x + 1)} \ge 0. \]
   Решение:
   Разложим числитель и знаменатель на множители: \[ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1); \quad 8 - x^2 = (2\sqrt{2} - x)(2+\sqrt{2} + x) \]
   Знаменатель \(x^2 + 3x + 7\) не имеет действительных корней, поэтому всегда положителен. Область определения: \(x ≠ -1\).
   Построим таблицу знаков:
   • \((x - 7)^2\) — всегда ≥0.
   • \((x - 1)\) — положителен при \(x > 1\).
   • \((8 - x^2)\) — положителен при \(|x| < 2\sqrt{2}\).
   • \((x + 1)\) — отрицателен при \(x < -1\).
   Точки смены знака: \(x = -1\), \(x=1\), \(x=2\sqrt{2}\), \(x=7\). Учитывая знаки и включение точек: \[ x \in [-2\sqrt{2}, -1) \cup [1, 2\sqrt{2}] \cup \{7\} \]
   Ответ: \([-2\sqrt{2}, -1) \cup [1, 2\sqrt{2}] \cup \{7\}\).
   
   
4. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют системе: \[ \begin{cases} (\sqrt{2x})^2 = \sqrt{(y + 1)^2}, \\ x\text{ — целое число}. \end{cases} \]
   Решение:
   Упростим первое уравнение: \[ 2x = |y + 1| \implies |y + 1| = 2x \]
   \(x\) целое и неотрицательное. При каждом \(x \geq 0\) имеем две прямые: \[ y = 2x - 1 \quad \text{и} \quad y = -2x - 1 \]
   Ответ: Точки с целыми \(x \geq 0\) на прямых \(y=2x-1\) и \(y=-2x-1\).
   
   
5. Медианы \(AM\) и \(BN\) треугольника \(ABC\) пересекаются под прямым углом. Найдите площадь \(S_{ABC}\), если \(AM = 2\), \(BN = 3\).
   Решение:
   Используем формулу площади через медианы \(m_a\) и \(m_b\), пересекающиеся под прямым углом: \[ S = \frac{4}{3} \cdot \frac{m_a \cdot m_b}{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \cdot 3}{2} = 2 \]
   Ответ: \(2\).
   
   
6. Дайте определение квадратичной функции. Какое минимальное количество точек необходимо задать на координатной плоскости, чтобы через них проходил график только одной квадратичной функции? Нужно ли в этом случае наложить какие-либо ограничения на расположение точек?
   Ответ:
   Квадратичная функция — функция вида \(f(x) = ax^2 + bx + c\), где \(a \neq 0\). Для однозначного определения требуется три точки, не лежащие на одной прямой. Ограничение: точки не должны быть коллинеарны.
   
   
7. В правильный треугольник со стороной 3 вписана окружность, в неё вписан правильный треугольник, в этот треугольник снова вписана окружность и т.д. Найдите сумму длин всех окружностей.
   Решение:
   Радиус первой окружности: \[ r_1 = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
   Каждая следующая окружность имеет радиус вдвое меньше. Сумма длин окружностей: \[ 2\pi \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{3}}{2^{n}} = 2\pi\sqrt{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\pi\sqrt{3} \]
   Ответ: \(2\pi\sqrt{3}\).