8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2014 год вариант ФМШ 2014-10-2

Сложность:
Дата экзамена: 2014
Осенние курсы Юайти
Математика/Программирование/Физика
Скидки до 20%
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2014 год


Вариант ФМШ 2014-10-2



  1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}\Bigr)\cdot \frac{a^{\tfrac32}\cdot b^{\tfrac12}}{a + b} \cdot \frac{2a}{a - b}. \]

  2. Решите уравнение: \[ x\cdot (x + 1)\cdot (x + 2)\cdot (x + 3) = 24. \]

  3. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в $5\%$ и $40\%$. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить $140$~тонн стали с содержанием никеля в $30\%$?

  4. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: \[ y^2 = \lvert 3 - x \rvert. \]

  5. Две окружности с радиусами 6~см и 8~см пересекаются в точках $A$ и $B$ так, что центры окружностей по одну сторону от хорды $AB$. Найдите длину хорды $AB$, если расстояние между центрами окружностей равно 4~см.

  6. Некоторое количество свежеродившихся микроорганизмов поместили в питательную среду. Каждый микроорганизм живёт 6 часов, и к концу каждого часа один живой микроорганизм производит на свет два новых микроорганизма. Через сколько часов количество микроорганизмов превысит исходное не менее, чем в $3^{12}$ раз?

  7. Для каждого действительного числа будем обозначать с помощью $[x]$ наибольшее целое число, не превышающее $x$. Решите неравенство: \[ [4x] > x^3. \]

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}\Bigr)\cdot \frac{a^{\tfrac32}\cdot b^{\tfrac12}}{a + b} \cdot \frac{2a}{a - b}. \] Решение: Рассмотрим первую скобку: \[ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}} \] Преобразуем знаменатели: \[ a\sqrt{b} \pm b\sqrt{a} = \sqrt{ab}(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}) \] Тогда: \[ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} + \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 + (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}(a - b)} \] В числителе: \[ (a - 2\sqrt{ab} + b) + (a + 2\sqrt{ab} + b) = 2a + 2b \] Подставляем обратно: \[ \frac{2(a + b)}{\sqrt{ab}(a - b)} \] Умножаем на \(\frac{a^{3/2}b^{1/2}}{a + b}\): \[ \frac{2(a + b)}{\sqrt{ab}(a - b)} \cdot \frac{a^{3/2}b^{1/2}}{a + b} = \frac{2a}{a - b} \] Завершаем умножением на \(\frac{2a}{a - b}\): \[ \frac{2a}{a - b} \cdot \frac{2a}{a - b} = \frac{4a^2}{(a - b)^2} \] Ответ: \(\boxed{\dfrac{4a^2}{(a - b)^2}}\).

  2. Решите уравнение: \[ x\cdot (x + 1)\cdot (x + 2)\cdot (x + 3) = 24. \] Решение: Перегруппируем множители: \[ (x(x + 3)) \cdot ((x + 1)(x + 2)) = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) = 24 \] Пусть \(y = x^2 + 3x\). Тогда: \[ y(y + 2) = 24 \Rightarrow y^2 + 2y - 24 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2} \Rightarrow y = 4 \text{ или } y = -6 \] Для \(y = 4\): \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = -4 \] Для \(y = -6\) (нет действительных корней).
    Ответ: \(\boxed{-4}\), \(\boxed{1}\).

  3. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в $5\%$ и $40\%$. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить \(140\) тонн стали с содержанием никеля в $30\%$? Решение: Пусть \(x\) — масса $5\%$ сплава, \(y\) — $40\%$ сплава.
    Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 140 \\ 0.05x + 0.4y = 0.3 \cdot 140 \end{cases} \] Подставляем \(y = 140 - x\): \[ 0.05x + 0.4(140 - x) = 42 \Rightarrow 0.05x + 56 - 0.4x = 42 \Rightarrow -0.35x = -14 \Rightarrow x = 40 \] Тогда \(y = 100\).
    Ответ: \(\boxed{40}\) тонн $5\%$ и \(\boxed{100}\) тонн $40\%$.

  4. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: \[ y^2 = \lvert 3 - x \rvert. \] Решение: Уравнение эквивалентно двум случаям:
    • При \(x \leq 3\): \(y^2 = 3 - x\) \Rightarrow \(x = 3 - y^2\) (парабола, ветви влево).
    • При \(x \geq 3\): \(y^2 = x - 3\) \Rightarrow \(x = 3 + y^2\) (парабола, ветви вправо).
    График состоит из двух симметричных парабол относительно вертикальной линии \(x = 3\).
    Ответ: См. график парабол \(x = 3 \pm y^2\).
  5. Две окружности с радиусами 6 см и 8 см пересекаются в точках \(A\) и \(B\) так, что центры окружностей по одну сторону от хорды \(AB\). Найдите длину хорды \(AB\), если расстояние между центрами окружностей равно 4 см. Решение: Пусть центры окружностей \(O_1\) и \(O_2\), \(O_1O_2 = 4\) см.
    Обозначим проекции центров на \(AB\) как \(H_1\) и \(H_2\).
    Пусть \(O_1H_1 = h\), \(O_2H_2 = k\). Тогда: \[ h + k = 4 \quad \text{(по расположению центров)} \] По теореме Пифагора для треугольников \(O_1AH_1\) и \(O_2AH_2\): \[ \sqrt{6^2 - h^2} = \sqrt{8^2 - k^2} \] Подставляем \(k = 4 - h\): \[ 36 - h^2 = 64 - (4 - h)^2 \Rightarrow h = -1.5 \quad \text{(физический смысл отсутствует, корректируем подход)} \] Исправленный подход: \[ AB = 2\sqrt{6^2 - \left(\frac{6^2 - 8^2 + 4^2}{2 \cdot 4}\right)^2} = 2\sqrt{36 - \left(\frac{-24}{8}\right)^2} = 2\sqrt{36 - 9} = 2\sqrt{27} = 6\sqrt{3} \] Ответ: \(\boxed{6\sqrt{3}}\) см.

  6. Некоторое количество свежеродившихся микроорганизмов поместили в питательную среду. Каждый микроорганизм живёт 6 часов, и к концу каждого часа один живой микроорганизм производит на свет два новых микроорганизма. Через сколько часов количество микроорганизмов превысит исходное не менее, чем в \(3^{12}\) раз? Решение: Ежечасно число микроорганизмов утраивается. Без учёта смерти: \(N(t) = N_0 \cdot 3^t\).
    При \(t = 12\): \(N(t) = N_0 \cdot 3^{12}\). Но через 6 часов микроорганизмы начинают умирать.
    Учёт смерти приводит к уравнению: \[ N(t) = 3^t N_0 - \sum_{k=0}^{t-6} 2^{k} N_0 \quad \text{для } t \geq 6 \] На \(t = 12\): \(N(12) = 3^{12}N_0 - (2^6 - 1)N_0 = 531441N_0 - 63N_0 = 531378N_0 < 531441N_0\).
    На \(t = 13\): количество превышает \(3^{12}N_0\).
    Ответ: \(\boxed{13}\) часов.

  7. Для каждого действительного числа будем обозначать с помощью \([x]\) наибольшее целое число, не превышающее \(x\). Решите неравенство: \[ [4x] > x^3. \] Решение: Рассмотрим интервалы, где \([4x] = k\) (\(k\) целое): \[ x \in \left[\frac{k}{4}, \frac{k+1}{4}\right) \] Условие: \(k > x^3\). Проверяем для \(k \geq 1\):
    • \(k = 1\): \(x \in [0.25, 0.5)\), \(x^3 < 0.125 < 1\) — верно.
    • \(k = 7\): \(x \in [1.75, 2)\), \(x^3 < 7\) → \(x < \sqrt[3]{7} \approx 1.913\). Интервал: \([1.75, \sqrt[3]{7})\).
    Окончательно: \(x \in \bigcup_{k=1}^{7} \left[\frac{k}{4}, \min\left(\frac{k+1}{4}, \sqrt[3]{k}\right)\right)\).
    Объединение: \([0.25, \sqrt[3]{7})\).
    Ответ: \(\boxed{\left[0.25; \sqrt[3]{7}\right)}\).
Материалы школы Юайти