8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2014 год вариант ФМШ 2014-10-1

Сложность:
Дата экзамена: 2014
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2014 год


Вариант ФМШ 2014-10-1



  1. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a - a^{-2}}{a^{\tfrac12} - a^{-\tfrac12}} - \frac{2}{a^{\tfrac32}} - \frac{1 - a^{-2}}{a^{\tfrac12} + a^{-\tfrac12}}\biggr)\cdot \frac{1}{a^{\tfrac12}}. \]

  2. Решите уравнение: \[ x\cdot (x + 2)\cdot (x + 3)\cdot (x + 5) = 72. \]

  3. Смешали $30\%$-ный раствор соляной кислоты с $10\%$-ным раствором соляной кислоты и получили 600~г $15\%$-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

  4. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: \[ y^2 = \lvert x - 1 \rvert. \]

  5. Две окружности с радиусами 6~см и 8~см пересекаются в точках $A$ и $B$ так, что центры окружностей по разные стороны от хорды $AB$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если известно, что хорда $AB$ равна $9{,}6$~см.

  6. Некоторое количество свежеродившихся микроорганизмов поместили в питательную среду. Каждый микроорганизм живёт 5 часов, и к концу каждого часа один живой микроорганизм производит на свет два новых микроорганизма. Через сколько часов количество микроорганизмов превысит исходное не менее, чем в $3^{15}$ раз?

  7. Для каждого действительного числа будем обозначать с помощью $[x]$ наибольшее целое число, не превышающее $x$. Решите неравенство: \[ [2x] < -x^2. \]

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a - a^{-2}}{a^{\tfrac12} - a^{-\tfrac12}} - \frac{2}{a^{\tfrac32}} - \frac{1 - a^{-2}}{a^{\tfrac12} + a^{-\tfrac12}}\biggr)\cdot \frac{1}{a^{\tfrac12}}. \] Решение:

    Введем замену $t = a^{1/2}$, тогда $a = t^2$ и $a^{-1} = t^{-2}$.

    Преобразуем первое слагаемое: \[ \frac{t^2 - t^{-4}}{t - t^{-1}} = \frac{(t^{-4})(t^6 - 1)}{t^{-1}(t^2 - 1)} = t^{-3} \cdot \frac{t^6 - 1}{t^2 - 1} = t^{-3} \cdot (t^4 + t^2 + 1) \]

    Второе слагаемое: \[ \frac{2}{t^3} \]

    Третье слагаемое: \[ \frac{1 - t^{-4}}{t + t^{-1}} = \frac{(1 - t^{-4}) \cdot t}{t^2 + 1} = \frac{t - t^{-3}}{t^2 + 1} \] Собирая всё вместе и преобразовывая, получаем: \[ \left(t^{-3}(t^4 + t^2 + 1) - 2t^{-3} - \frac{t - t^{-3}}{t^2 + 1}\right) \cdot t^{-1} \] Упрощения приводят к окончательному ответу: $1$.

    Ответ: 1.

  2. Решите уравнение: \[ x\cdot (x + 2)\cdot (x + 3)\cdot (x + 5) = 72. \] Решение:

    Сгруппируем множители: \[ (x(x + 5)) \cdot ((x + 2)(x + 3)) = 72 \] \[ (x^2 + 5x)(x^2 + 5x + 6) = 72 \] Пусть $y = x^2 + 5x$, тогда: \[ y(y + 6) = 72 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 6y - 72 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 288}}{2} = \frac{-6 \pm 18}{2} = 6 \text{ или } -12 \] Для $y = 6$: \[ x^2 + 5x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \text{ или } x = -6 \] Для $y = -12$: \[ x^2 + 5x + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad D < 0 \quad \text{(нет корней)} \] Ответ: -6 и 1.

  3. Смешали $30\%$-ный раствор соляной кислоты с $10\%$-ным раствором и получили 600~г $15\%$-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
    Решение:

    Пусть масса $30\%$ раствора — $x$ грамм, тогда $10\%$ раствора — $(600 - x)$ грамм.
    Уравнение для кислоты: \[ 0,3x + 0,1(600 - x) = 0,15 \cdot 600 \] \[ 0,2x + 60 = 90 \quad \Rightarrow \quad 0,2x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 150 \] Ответ: 150 г $30\%$ раствора и 450 г $10\%$ раствора.

  4. На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих уравнению: \[ y^2 = \lvert x - 1 \rvert. \] Решение:

    При $x \geq 1$ уравнение принимает вид $y^2 = x - 1$, что описывает параболу, открытую вправо с вершиной в точке (1, 0).
    При $x < 1$ уравнение преобразуется в $y^2 = 1 - x$, но так как $y^2 \geq 0$, решений для $x < 1$ нет.
    Ответ: Парабола $y^2 = x - 1$ при $x \geq 1$.

  5. Две окружности с радиусами 6~см и 8~см пересекаются в точках $A$ и $B$. Хорда $AB = 9,6$ см. Найдите расстояние между центрами окружностей.
    Решение:

    Расстояние от центра до хорды для первой окружности: \[ d_1 = \sqrt{6^2 - \left(\frac{9,6}{2}\right)^2} = \sqrt{36 - 23,04} = \sqrt{12,96} = 3,6 \text{ см} \] Для второй окружности: \[ d_2 = \sqrt{8^2 - 4,8^2} = \sqrt{64 - 23,04} = \sqrt{40,96} = 6,4 \text{ см} \] Расстояние между центрами: \[ d = d_1 + d_2 = 3,6 + 6,4 = 10 \text{ см} \] Ответ: 10 см.

  6. Через сколько часов количество микроорганизмов превысит исходное в $3^{15}$ раз?
    Решение:

    Каждый час микроорганизм производит 2 новых. Через $n$ часов количество потомков от одного микроорганизма: \[ 2^0 + 2^1 + ... + 2^{\min(n, 5)} \] Так как микроорганизмы живут 5 часов, после 5-го часа количество перестает расти. Для $n \geq 5$ суммарное число потомков: \[ 2^5 - 1 = 31 \quad \text{(геометрическая прогрессия с множителем 2)} \] Общее число микроорганизмов через $k \geq 5$ часов: \[ N_k = N_0 \cdot 31^{k - 4} \] Нужно найти минимальное $k$, при котором: \[ 31^{k - 4} \geq 3^{15} \] Логарифмируем: \[ (k - 4) \ln 31 \geq 15 \ln 3 \quad \Rightarrow \quad k \geq 4 + \frac{15 \ln 3}{\ln 31} \approx 4 + 8,07 \approx 12,07 \] Ответ: 13 часов.

  7. Решите неравенство: \[ [2x] < -x^2. \] Решение:

    Пусть $[2x] = m \in \mathbb{Z}$. Тогда: \[ m \leq 2x < m + 1 \quad \text{и} \quad m < -x^2 \] Так как $-x^2 \leq 0$, $m \leq -1$. Разобьем на случаи:

    - При $m = -1$: $-1 < -x^2 \Rightarrow x^2 < 1 \Rightarrow x \in (-1,1)$. Но $m = -1 \Rightarrow 2x \in [-1, 0) \Rightarrow x \in [-0,5; 0)$. Пересечение: $x \in (-0,5; 0)$.

    - При $m \leq -2$: \[ \frac{m}{2} \leq x -m \] Но $-m = |m|$ при $m \sqrt{|m|} \] Для $m = -2$: $x \in [-1; -0,75)$. Проверка: x² > 2 → x² ≥ 2 в данном интервале нет решений.

    Для $m \leq -3$ аналогично несовместно, так как x² > |m| требует большего, чем интервал допускает.

    Ответ: $x \in (-0,5; 0)$.
Материалы школы Юайти