ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2013 год вариант ФМШ 2013-II-10-2

ФМШ МИЭМ

2013 год

Вариант ФМШ 2013-II-10-2

1. Решите неравенство: \[ 2\cdot\lvert x+1\rvert + \lvert 6 - 2x\rvert \le x + 8. \]
2. Решите неравенство: \[ \frac{(x+9)\cdot(x+11)^{2}\cdot(3-x)^{6}} {(9 - x^{2})\cdot(x-3)^{3}\cdot(x+4)^{4}} \;\ge\; 0. \]
3. Многочлен \(P(x)\) при делении на \((x-4)\) даёт в остатке 16, а при делении на \((x+2)\) в остатке 10. Чему равен остаток от деления этого многочлена на \((x-4)\cdot(x+2)\)?
4. Дана равнобочная трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковые стороны трапеции равны 5. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых \(2:3\). Найти площадь трапеции.
5. Постройте график функции: \[ y = \frac{1}{\lvert 2x + 1\rvert} \;-\; 3. \]
6. Какие условия при формулировке теорем называются необходимыми, а какие — достаточными? Привести пример теоремы, в которой сформулированные условия являются достаточными, но не являются необходимыми.
7. Является ли число \[ \frac{7^{2014} - 3^{2014}}{10} \] целым? Ответ обосновать.

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ 2\cdot\lvert x+1\rvert + \lvert 6 - 2x\rvert \le x + 8. \]
   Решение: Разобьём решение на интервалы в зависимости от знаков выражений внутри модулей. Критические точки: \(x = -1\) и \(x = 3\).
   
   1. Случай \(x < -1\):\ \(\lvert x + 1\rvert = -x - 1\), \(\lvert 6 - 2x\rvert = 6 - 2x\):\ \(2(-x - 1) + (6 - 2x) \le x + 8\):\ \(-4x + 4 \le x + 8 \Rightarrow -5x \le 4 \Rightarrow x \ge -\frac{4}{5}\). Но \(x -1\).
   
   2. Случай \(-1 \le x < 3\):\ \(\lvert x + 1\rvert = x + 1\), \(\lvert 6 - 2x\rvert = 6 - 2x\):\ \(2(x + 1) + (6 - 2x) \le x + 8\):\ \(8 \le x + 8 \Rightarrow x \ge 0\). Тогда \(x \in [0; 3)\).
   
   3. Случай \(x \ge 3\):\ \(\lvert x + 1\rvert = x + 1\), \(\lvert 6 - 2x\rvert = 2x - 6\):\ \(2(x + 1) + (2x - 6) \le x + 8\):\ \(4x - 4 \le x + 8 \Rightarrow 3x \le 12 \Rightarrow x \le 4\). Тогда \(x \in [3; 4]\).
   
   Объединяя решения: \(x \in [0; 4]\).
   Ответ: \(x \in [0; 4]\).
   
   
2. Решите неравенство: \[ \frac{(x+9)\cdot(x+11)^{2}\cdot(3-x)^{6}} {(9 - x^{2})\cdot(x-3)^{3}\cdot(x+4)^{4}} \;\ge\; 0. \]
   Решение: Преобразуем выражения: \[ \frac{(x+9)(x+11)^2(x-3)^2}{- (x+3)(x+4)^4} \ge 0. \] Критические точки числителя: \(x = -9\), \(x = -11\), \(x = 3\) (чётные кратности). Знаменатель нуль при \(x = -3\), \(x = -4\), \(x = 3\) с учётом сокращений.
   
   Анализ знаков: - При \(x \in (-\infty; -11)\): отрицателен. - При \(x \in [-11; -9]\cup [-9; -3)\): положителен или ноль. - При \(x \in [-3; \infty)\): отрицателен, кроме \(x = 3\) (нуль числителя).
   
   Сочетая интервалы и учитывая строгость:
   Ответ: \( \boxed{x \in [-11; -3) \cup \{3\}} \).
   
   
3. Многочлен \(P(x)\) при делении на \((x-4)\) даёт остаток 16, при делении на \((x+2)\) даёт остаток 10. Найти остаток от деления \(P(x)\) на \((x-4)(x+2)\).
   Решение: Остаток имеет вид \(R(x) = ax + b\). Из условий:
   
   \[ \begin{cases} 4a + b = 16 \\ -2a + b = 10 \end{cases} \]
   
   Решая систему: \(a = 1\), \(b = 12\).
   Ответ: \( \boxed{x + 12} \).
   
   
4. Дана равнобочная трапеция с боковыми сторонами 5. Средняя линия делит трапецию на части с отношением площадей \(2:3\). Найти площадью трапеции.
   Решение: Трапеция вписана в окружность \(\Rightarrow\) сумма оснований равна \(10\). Средняя линия \(5\). Пусть основания \(a\) и \(b\), тогда:
   
   \[ \frac{3a + b}{a + 3b} = \frac{2}{3} \Rightarrow 7a = 3b, \quad a + b = 10 \Rightarrow a = 3, \quad b = 7. \]
   
   Высота \(h = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}\). Площадь \(S = 5 \cdot \sqrt{21}\).
   Ответ: \( \boxed{5\sqrt{21}} \).
   
   
5. Постройте график функции: \[ y = \frac{1}{\lvert 2x + 1\rvert} \;-\; 3. \]
   Решение: Вертикальная асимптота при \(x = -\frac{1}{2}\).
   
   - При \(x > -\frac{1}{2}\): \( y = \frac{1}{2x + 1} - 3 \), стремится к \(y = -3\). - При \(x < -\frac{1}{2}\): \( y = \frac{1}{-2x - 1} - 3 \), также стремится к \(y = -3\).
   
   Характерные точки: - Для \(x = 0\): \( y = -2 \); - Для \(x = -1\): \( y = -2 \).
   
   График состоит из двух гипербол с асимптотами \(x = -\frac{1}{2}\) и \(y = -3\).
   
   \[ \text{Графически: ответ представлен на рисунке.} \]
   
   
6. Какие условия называются необходимыми и достаточными? Приведите пример.
   Решение: - Достаточное условие: гарантирует истинность заключения, но не обязательно является необходимым. - Необходимое условие: должно выполняться, чтобы заключение было истинным, но одного его недостаточно.
   
   Пример: "Если число делится на 4, то оно чётное". Условие "делится на 4" — достаточное, но не необходимое.
   
   
7. Является ли число \(\frac{7^{2014} - 3^{2014}}{10}\) целым?
   Решение: Последние цифры: - \(7^{2014}\mod 10\): цикл 7,9,3,1. \(2014 \mod 4 = 2\) → последняя цифра \(9\). - \(3^{2014}\mod 10\): цикл 3,9,7,1. \(2014 \mod 4 = 2\) → последняя цифра \(9\).
   
   Разность: \(9 - 9 = 0\). Значит, разность кратна 10. Ответ: да.
   Ответ: \( \boxed{\text{Да}} \).